Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1）．求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2）．那么图中是否存在与AM相等的线段？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，且CD为斜边上的中线，利用三线合一得到CD垂直于AB，且CD为角平分线，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一对角相等，AC=BC，利用ASA得到△AEC与△CGB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

（2）图中存在与AM相等的线段，AM=CE．先证出∠CEB=∠CMA，再由AAS证明△BCE≌△ACM，即可解答．

【解答】解：（1）∵点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．

∴∠CAE=∠BCG．

∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°．

∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG．

在△AEC和△CGB中，

，

∴△AEC≌△CGB（ASA）．

∴AE=CG．

（2）图中存在与AM相等的线段，AM=CE．

证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．

∴∠CMA=∠BEC．

∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，

在△CAM和△BCE中，

，

∴△CAM≌△BCE（AAS）．

∴AM=CE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．