Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC，求证：∠A=90°．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：作出图形，作∠ACB的平分线CD交AB于D，过点D作DE⊥BC于E，求出∠B=∠BCD，再根据等角对等边可得BD=CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=CE，再求出AC=CE，然后利用“边角边”证明△ACD和△ECD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠CED=90°．

解答：证明：如图，作∠ACB的平分线CD交AB于D，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BCD=

1

2

∠ACB，
∴BD=CD，
∴BE=CE=

1

2

BC，
∵BC=2AC，
∴AC=CE，
在△ACD和△ECD中，

AC=CE ∠ACD=∠BCD CD=CD

，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠A=∠CED=90°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的定义，作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形是解题的关键．