Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．

（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；

（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．

Answer 1

【答案】（1）AC＝2；（2）证明见解析．

【解析】

（1）注意到∠CBA＝120°，于是作AM⊥CB于M，先求出CM与AM的长度，再由勾股定理算出AC长度．

（2）由已知条件可以直接判断出△DEH≌△BAF，然后可推出CD＝DE，于是连接CE，作EN⊥AC于N，连接DN，可以证明△DGN是等腰直角三角形以及△CDG≌△EDN，注意到∠EGD＝75°，从而∠EGN＝30°，所证结论就自然成立了．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，

∵BF⊥AD于F，

∴∠AFB＝90°，

∵∠BAD＝60°，

∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，

∵EH⊥AD于H，

∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，

∵DE⊥DC交AB于E，

∴∠DEA＝90°，

∴AD＝2AE＝8，

∴CB＝AD＝8，

如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，

∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，

∴CM＝CB+BM＝11，

在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．

（2）如图2，作EN⊥AC于N，连接DN、CE，则∠CNE＝90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，

∵DE⊥DC交AB于E，

∴∠CDE＝∠DEA＝90°，

∵EH⊥AD于H，

∴∠DHD＝∠EHA＝90°，

∵BF⊥AD于F，

∴∠DFB＝∠AFB＝90°，

∴∠DHE＝∠BFA，

∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，

∴∠DEH＝∠BAF，

∵DH＝BF，

∴△DEH≌△BAF（AAS），

∴DE＝BA＝CD，

∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，

∵∠CDE＝∠CNE＝90°，

∴C、D、N、E四点共圆，

∴∠DNC＝∠DEC＝45°，

∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，

∴∠CDG+∠CAB＝45°，

∵CD∥AB，

∴∠CAB＝∠DCG，

∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，

∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，

∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，

∴∠CDG＝∠EDN，

∴△CDG≌△EDN（SAS），

∴EN＝CG，

∵∠CGD＝75°，

∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，

∴GN＝EN＝CG，

∴DG＝GN＝CG