Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．若四边形ABEF的周长为12，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是（　　）

A.9B.12C.D.6

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据题意可知AE是∠BAF的角平分线，根据平分线性质和AF=AB，可证明四边形ABEF是菱形，菱形的对角线相互垂直平分，再由∠C=，可得△ABF为正三角形，再由所对直角边是斜边一半，可以算出AG的长，四边形ABEF面积即可算出．

由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，

则∠1＝∠2，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，

∴∠2＝∠BEA，

∴∠1＝∠BEA＝30°，

∴BA＝BE，

∴AF＝BE，

∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，

而AB＝AF，

∴四边形ABEF是菱形；

∴BF⊥AE，AG＝EG，

∵四边形ABEF的周长为12，

∴AF＝BF＝AB＝3，

在Rt△ABG中，∠1＝30°，

∴BG＝AB＝1.5，AG＝BG＝，

∴AE＝2AG＝3，

∴菱形ABEF的面积＝BF×AE＝×3×3＝；

故选：C．