Question

【题目】已知抛物线y＝x2+bx+c，经过点B（﹣4，0）和点A（1，0），与y轴交于点C．

（1）确定抛物线的表达式，并求出C点坐标；

（2）如图1，抛物线上存在一点E，使△ACE是以AC为直角边的直角三角形，求出所有满足条件的点E坐标；

（3）如图2，M，N是抛物线上的两动点（点M在点的N左侧），分别过点M，N作PM∥x轴，PN∥y轴，PM，PN交于点P．点M，N运动时，始终保持MN＝不变，当△MNP的两条直角边长成二倍关系时，请直接写出直线MN的表达式．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+3x﹣4，C（0，﹣4）；（2）E（﹣，﹣）或E（﹣，）；（3）MN的解析式为或．

【解析】

(1)将点B(﹣4，0)和点A(1，0)代入函数解析式即可求解；

(2)分两种情况：当CE⊥AC时，设CE的解析式为y=kx﹣4，求出E的坐标(k﹣3，k2﹣3k﹣4)，再由勾股定理可求k的值；⊥AC时，则∥CE，设的解析式为y=-x+m，即可求出点坐标；

(3)分两种情况：设P(s，t)，当AP=2MP时，M(s﹣1，t)，N(s，t+2)，可得(s﹣1)2+3(s﹣1)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+2，求出s=0，t=﹣，进而求出M(﹣1，﹣6)，N(0，﹣4)，利用待定系数法即可求MN的直线解析式；当MP=2AP时，M(s﹣2，t)，N(s，t+1)，可得(s﹣2)2+3(s﹣2)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+1，求出s=﹣，t=﹣，进而求出M(﹣，﹣)，N(﹣，﹣)，利用待定系数法即可求MN的解析式．

(1)∵点B(﹣4，0)和点A(1，0)在抛物线上，

∴，

解得，

∴，

∴点C的坐标为(0，﹣4)；

(2)当CE⊥AC时，

设CE的解析式为y=kx﹣4，

∴，

得：，

∴x=0(舍)或x=k﹣3，

∴点E的坐标为(k﹣3，k2﹣3k﹣4)，

AC2==17，

EA2=(k﹣3-1)2+(k2﹣3k﹣4)2，EC2=(k﹣3)2+(k2﹣3k-4+4)2，

∵AC2+EC2=EA2，

∴17+(k﹣3)2+(k2﹣3k)2=(k﹣4)2+(k2﹣3k﹣4)2，

解得：k=3(舍去)，k=-，

∴点E的坐标为(﹣，﹣)；

当⊥AC时，

∵CE⊥AC，

∴∥CE，

设的解析式为y=-x+m，

点A(1，0)在直线上，

∴，

∴，

解得：x=1(舍去)或x，

∴，

∴点的坐标为(﹣，)；

综上，点E的坐标为(﹣，﹣)或(﹣，)；

(3)设P(s，t)，

当NP=2MP时，

∵MN=，且，

∴MP=1，NP=2，

∴M(s﹣1，t)，N(s，t+2)，

∵M、N在抛物线上，

∴(s﹣1)2+3(s﹣1)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+2，

解得：s=0，t=﹣，

∴M(﹣1，﹣6)，N(0，﹣4)，

设直线MN的解析式为，

则，

解得：，

∴直线MN的解析式为y=2x﹣4；

当MP=2AP时，

∵MN=，

同理：MP=2，AP=1，

∴M(s﹣2，t)，N(s，t+1)，

∵M、N在抛物线上，

∴(s﹣2)2+3(s﹣2)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+1，

∴s=﹣，t=﹣，

∴M(﹣，﹣)，N(﹣，﹣)，

设直线MN的解析式为，

则，

解得：，

∴直线MN的解析式为y=x；

综上所述：MN的解析式为或．