Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的两边与坐标轴重合，且OB=4，AO=3，若AD=3DC，以D为顶点的抛物线过原点．点M、N为动点，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在图1中，若点M在线段OB上从点O向点B以1个单位/秒的速度运动，同时，点N在线段BA上从点B向点A以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△BMN为直角三角形？

（3）在图2中，过点M做y轴的平行线，分别交抛物线和线段OD于P、G两点，当t为何值时，△ODP的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x；（2）当t=或t=时，△BMN为直角三角形；（3）当t=时，△OPD的面积最大，最大值为

【解析】分析：（1）求出点D的坐标，再利用顶点坐标式求出抛物线的解析式；

（2）分∠NMB=90°时，△AOB∽△NMB和当∠MNB=90°时，得到△AOB∽△MNB两种情况进行讨论，求出t的值即可；

（3）首先求出直线OD的解析式，再用t表示出PG的长，用t表示出△OPD的面积，进而求出最大值．

详解：（1）由题意，知AC=4，AD=3CD，得D点坐标为（3，3），根据顶点式设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+3，

将点O坐标代入即可求出a=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x；

（2）依题意得，OA=3，OB=4，

∴AB=5，

∵OM=t，故得BM=（4﹣t），BN=2t，

①当∠NMB=90°时，得到△AOB∽△NMB，

得到=，得=，解得t=；

②当∠MNB=90°时，得到△AOB∽△MNB，

得=，得=，解得t=，

∴当t=或t=时，△BMN为直角三角形；

（3）∵O（0，0），D（3，3），

∴设直线OD的解析式为y=kx，则3k=3，k=1，

故直线OD的解析式为y=x，

∵OM=t，故xM=xG=xF=t，

∴yP=﹣t2+2t，yG=t，

∴PG=﹣t2+t，

∴S△OPD=ADFG=﹣t2+t，

∴S△OPD=（t﹣）2+（0＜t＜），

∴当t=时，△OPD的面积最大，最大值为．