【题目】如图,在△ABC中,点O是AC边上一动点,过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F
(1)求证:EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形CEAF是矩形?请证明你的结论。
(3)在第(2)问的结论下,若AE=3,EC=4,AB=12,BC=13,请求出凹四边形ABCE的面积.
【答案】(1)证明见解析(2)当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形(3)24
【解析】
(1)根据平行线的性质与等腰三角形的性质即可证明;(2)当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形,由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明;(3)利用凹四边形ABCE的面积=△ABC的面积△ACE的面积即可求解.
(1)证明:∵EF∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠OCE,
∴∠OEC=∠OCE,
∴EO=CO,
同理:FO=CO,
∴EO=FO;
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形;理由如下:
由(1)得:EO=FO,
又∵O是AC的中点,
∴AO=CO,
∴四边形CEAF是平行四边形,
∵EO=FO=CO,
∴EO=FO=AO=CO,
∴EF=AC,
∴四边形CEAF是矩形;
(3)由(2)得:四边形CEAF是矩形,
∴∠AEC=90,
∴AC=AE2+EC2=5,
△ACE的面积=AE×EC=
×3×4=6,
∵122+52=132,
即AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90,
∴△ABC的面积=ABAC=
×12×5=30,
∴凹四边形ABCE的面积=△ABC的面积△ACE的面积=306=24;
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【题目】如图,若点A在数轴上对应的数为,点B在数轴上对应的数为b,且
,b满足
(1)求线段AB的长;
(2)点C在数轴上对应的数为x,且x是方程的解,在数轴上是否存在点P,使得PA+PB=PC?若存在,求出点P对应的数;若不存在,说明理由;
(3)在(1)(2)条件下,点A,B,C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动,假设t秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB,请问:AB﹣BC的值是否随时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其常数值.
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【题目】如图,矩形ABCD的顶点A,B在圆上,BC,AD分别与该圆相交于点E,F,G是弧AF的三等分点(弧AG>弧GF),BG交AF于点H.若弧AB的度数为30°,则∠GHF等于( )
A. 40° B. 45° C. 55° D. 80°
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【题目】为了尽快的适应中招体考项目,现某校初二(1)班班委会准备筹集1800元购买A、B两种类型跳绳供班级集体使用.
(1)班委会决定,购买A种跳绳的资金不少于B种跳绳资金的2倍,问最多用多少资金购买B种跳绳?
(2)经初步统计,初二(1)班有25人自愿参与购买,那么平均每生需交72元.初三(1)班了解情况后,把体考后闲置的跳绳赠送了若干给初二(1)班,这样只需班级共筹集1350元.经初二(1)班班委会进一步宣传,自愿参与购买的学生在25人的基础上增加了4a%.则每生平均交费在72元基础上减少了2.5a%,求a的值.
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【题目】下面是伟大的数学家欧拉亲自编的一道题:父亲临终时立下遗嘱,按下述方式分配遗产,老大分得100克朗和剩下的十分之一,老二分得200克朗和剩下的十分之一,老三分得300克朗和剩下的十分之一,老四分得400克朗和剩下的十分之一,… …,依次类推分给其余的孩子,最后发现遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等,遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少?
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【题目】如图,矩形中,点
是线段
上一动点,
为
的中点,
的延长线交BC于
.
(1)求证: ;
(2)若,
,
从点
出发,以l
的速度向
运动(不与
重合).设点
运动时间为
,请用
表示
的长;并求
为何值时,四边形
是菱形.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
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【题目】某篮球队对队员进行定点投篮测试,每人每天投篮10次,现对甲、乙两名队员在五天中进球数(单位:个)进行统计,结果如下:
甲 | 10 | 6 | 10 | 6 | 8 |
乙 | 7 | 9 | 7 | 8 | 9 |
经过计算,甲进球的平均数为8,方差为3.2.
(1)求乙进球的平均数和方差;
(2)如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素,从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛,应选谁?为什么?
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【题目】某校以“我最想去的社会实践地”为课题,开展了一次调查,从全校同学中随机抽取了部分同学进行调查,每位同学从“荪湖花海”、“保国寺”、“慈城古镇”、“绿色学校”中选取一项最想去的社会实践地,并将调查结果绘制成如下的统计图(部分信息未给出).
请根据统计图中信息,解答下列问题:
(1)该调查的样本容量为________,a=________%,b=________%,“荪湖花海”所对应扇形的圆心角度数为________度.
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有1600名学生,请估计全校最想去“绿色学校”的学生共有多少名?
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