Question

【题目】如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F

(1)求证：EO=FO；

(2)当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形?请证明你的结论。

(3)在第(2)问的结论下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，请求出凹四边形ABCE的面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形（3）24

【解析】

（1）根据平行线的性质与等腰三角形的性质即可证明；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明；（3）利用凹四边形ABCE的面积=△ABC的面积△ACE的面积即可求解.

(1)证明：∵EF∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠OCE，

∴∠OEC=∠OCE，

∴EO=CO，

同理：FO=CO，

∴EO=FO；

(2)当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：

由(1)得：EO=FO，

又∵O是AC的中点，

∴AO=CO，

∴四边形CEAF是平行四边形，

∵EO=FO=CO，

∴EO=FO=AO=CO，

∴EF=AC，

∴四边形CEAF是矩形；

(3)由(2)得：四边形CEAF是矩形，

∴∠AEC=90，

∴AC=AE2+EC2=5，

△ACE的面积=AE×EC=×3×4=6，

∵122+52=132，

即AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90，

∴△ABC的面积=ABAC=×12×5=30，

∴凹四边形ABCE的面积=△ABC的面积△ACE的面积=306=24；