Question

16．解决问题：如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线．过点D、E作DF∥EG，分别交BC于F、G，过点A作MN∥BC，分别与FD、GE的延长线交于M、N，则四边形MFGN周长的最小值是10$\sqrt{2}$+8．

Answer 1

分析 先判断出四边形MFGN是平行四边形，再判断出MN=FG=DE=4，进而判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小，最后构造出直角三角形求出AH即可得出结论．

解答 解：如图，

∵MN∥BC，FM∥GN，
∴四边形MFGN是平行四边形，
∴MF=NG，MN=FG，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4，DE∥BC，
∴MN=FG=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴四边形MFGN周长=2（MF+FG）=2MF+8，
∴MF⊥BC时，MF最短，
即：四边形MFGN的周长最小，
过点A作AH⊥BC于H，
∴FM=AH
在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=10，
∴AH=$\frac{10}{\sqrt{2}}$=5 $\sqrt{2}$，
∴四边形MFGN的周长最小为2MF+8=10$\sqrt{2}$+8．
故答案为10$\sqrt{2}$+8．

点评 此题主要考查了轴对称的性质，三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，解题的关键是判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小．