Question

17．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=2，求BC的长；
（2）求证：ME=AM-DF．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得CB=CD，AB∥CD，然后再证明∠2=∠ACD，根据等角对等边可得MC=MD，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CE=4，进而可得BC=4．
（2）延长DF，BA交于G，首先证明△CEM≌△CFM可得ME=MF，然后再证明△CDF≌△BGF可得DF=GF，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边可得GM=CM，利用线段的和差关系可得结论．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，AB∥CD，
∴∠1=∠ACD．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠ACD，
∴MC=MD．
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE=4，
∴BC=CD=4；

（2）证明：如图，延长DF，BA交于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA=∠DCA．
∵BC=2CF，CD=2CE，
∴CE=CF．
在△CEM和△CFM中，$\left\{\begin{array}{l}{CM=CM}\\{∠BCA=∠DCA}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠G，∠GBF=∠BCD，
∵F为边BC的中点，
∵CF=BF，
在△CDF和△BGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠2}\\{∠GBF=∠BCD}\\{BF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴DF=GF．
∵∠1=∠2，∠G=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=GM=MF+GF=DF+ME，
即ME=AM-DF．

点评 此题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握菱形四边相等，对边平行．