Question

已知⊙O₁与⊙O₂交于A、B，CD、EF是两圆外公切线，切⊙O₁于C、E，切⊙O₂于D、F，过AB的直线交CD于G，交EF于H，求证：GA=HB．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：如图，根据两圆相切的性质得CD=EF，再根据切割线定理得到GC²=GA•GB，GD²=GA•GB，则GC=GD，同理可得HE=HF，所以CG=HE，于是得到GA•AB=HB•HA，然后利用因式分解的方法可得到GA=HB．

解答：证明：如图，
∵CD、EF是两圆外公切线，
∴CD=EF，
∵GC²=GA•GB，GD²=GA•GB，
∴GC=GD，
同理可得HE=HF，
∴CG=HE，
∴GA•AB=HB•HA，
即GA（GA+AB）-HB（HB+AB）=0，
∴（GA-GB）（GA+GB+AB）=0，
∴GA=HB．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了两圆相切的性质和切割线定理．