Question

7．如图，在△ABC中，AB=6，tan∠BAC=$\frac{3}{4}$，点P为AC边上任意一点，点Q为CA延长线上任意一点，以PB、PQ为两边作?PQDB，则对角线PD的最小值为$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 由题意可知当PD⊥BD时，对角线PD的最小值，过点A作AE⊥BD于点E，利用平行四边形的性质和已知条件即可求出PD的长．

解答 解：由题意可知当PD⊥BD时，对角线PD的最小值，
∵四边形PQDB是平行四边形
∴PQ∥BD，
∴∠ABD=∠BAC，
∵tan∠BAC=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠BAC=$\frac{3}{5}$=sin∠ABD，
过点A作AE⊥BD于点E，如图所示：
∴当PD最小时，PD=AE，
∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠BAC
=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$，
∴对角线PD的最小值为$\frac{18}{5}$，
故答案为：$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是当PD最小时，PD=AE，求PE的长，转化为求线段AE的长．