Question

【题目】阅读下列材料：

在公式(a＋1)2＝a2＋2a＋1中，当a分别取1，2，3，4，…，n时，可得以下等式：

(1＋1)2＝12＋2×1＋1；

(2＋1)2＝22＋2×2＋1；

(3＋1)2＝32＋2×3＋1；

(4＋1)2＝42＋2×4＋1；

……

(n＋1)2＝n2＋2n＋1.

将这几个等式的左右两边分别相加，可以推导出求和公式：1＋2＋3＋4＋…＋n＝.

请写出推导过程．

Answer 1

【答案】，推导过程见详解.

【解析】

将这n个等式的左右两边分别相加，然后将左右对应相等的项消去，将所得新的等式化简即可得到所求结论

解：左右两边分别相加，得

22＋32＋42＋52＋…＋(n＋1)2＝12＋22＋32＋42＋…＋n2＋2(1＋2＋3＋4＋…＋n)＋n，

∴(n＋1)2＝1＋2(1＋2＋3＋4＋…＋n)＋n，

即2(1＋2＋3＋4＋…＋n)＝n2＋n，

∴1＋2＋3＋4＋…＋n＝.

故答案为：，推导过程见详解.