Question

16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，将△ADC绕DC的中点旋转180°到△ECD处，B、C、E三点在同一直线上，∠B=2∠E．
（1）求证：AB=DC；
（2）若tanB=2，$AB=\sqrt{5}$，求四边形ABED的面积．

Answer 1

分析 （1）证明∠DCB=2∠E，则∠B=∠DCB，则可以证明梯形ABCD是等腰梯形，据此即可证得；
（2）过点A作AF⊥BC于F，在直角△ABF中，利用三角函数即可求得AF的长和BF的长，然后证明AD=DC=AB，则BC的长即可求得，然后利用梯形的面积公式即可求解．

解答 （1）证明：∵CA平分∠BCD，
∴∠BCD=2∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACB=∠CAD．
∵将△ADC绕DC的中点旋转180°到△ECD处，
∴∠E=∠CAD，
又∵在梯形ABCD中，∠DAC=∠ACB，
∴2∠E=2∠ACB=∠BCD，
∵∠B=2∠E，
∴∠B=∠BCD．
∴AB=CD；
（2）过点A作AF⊥BC于F，
∵tanB=2，
∴AF：BF=2，AF²+BF²=AB²，
∵$AB=\sqrt{5}$，
∴AF=2，BF=1．
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCD=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠ACD=∠CAD，
∴AD=DC  由（1）知AB=CD，
∴AB=CD=AD=$\sqrt{5}$，
∴BC=2+$\sqrt{5}$．
∵将△ADC绕DC的中点旋转180°到△ECD处，B、C、E三点在同一直线上，
∴BE=2+2$\sqrt{5}$，
∴四边形ABED的面积为2+3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了梯形的性质以及旋转的性质，正确作出辅助线，正确证明梯形ABCD是等腰梯形是本题的关键．