Question

【题目】已知如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC，点P是直线AC上方的抛物线上一动点（异于点A，C），过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE与AC相交于点D，连接AP．

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）①求直线AC的解析式；

②是否存在点P，使得△PAD的面积等于△DAE的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）(0,3)；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）①；②当点P的坐标为（1，4）时，△PAD的面积等于△DAE的面积．

【解析】

（1）将代入二次函数解析式即可得点C的坐标；

（2）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3即可得出抛物线的解析式；

（3）①设直线直线AC的解析式为，把A（3，0），C代入即可得直线AC的解析式；

②存在点P，使得△PAD的面积等于△DAE的面积；设点P（x，﹣x2+2x+3）则点D（x，﹣x+3），可得PD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，DE=﹣x+3，根据Ｓ△PAD＝Ｓ△DAE时，即可得PD=DE，即可得出结论．

解：（1）由y＝ax2+bx+3，令

∴点C的坐标为（0，3）；

（2）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3得

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

（3）①设直线直线AC的解析式为，

把A（3，0），C代入得

，

解得，

∴直线AC的解析式为；

②存在点P，使得△PAD的面积等于△DAE的面积，理由如下：

设点P（x，﹣x2+2x+3）则点D（x，﹣x+3），

∴PD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，DE=﹣x+3，

当Ｓ△PAD＝Ｓ△DAE时，有，得PD=DE，

∴﹣x2+3x=﹣x+3解得x1=1，x2=3（舍去），

∴y＝﹣x2+2x+3=﹣12+2+3=4，

∴当点P的坐标为（1，4）时，△PAD的面积等于△DAE的面积．