Question

【题目】已知直线AB：y=﹣ x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，y轴上点C的坐标为（0，10）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）动点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿x轴向左运动，连接CM．设点M的运动时间为t，△COM的面积为S，求S与t的函数关系式；（并标出自变量的取值范围）
（3）直线AB与直线CM相交于点N，点P为y轴上一点，且始终保持PM+PN最短，当t为何值时，△COM≌△AOB，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：对于直线AB：：y=﹣ x+5

当x=0时，y=5；当y=0时，x=10，

则A、B两点的坐标分别为A（10，0）、B（0，5）

（2）

解：∵C（0，10），A（10，0）

∴OC=OA=10，

当0≤t≤10时，OM=OA﹣AM=10﹣t，S△OCM= ×10×（10﹣t）=50﹣5t；

当t＞10时，OM=AM﹣OA=t﹣10，S△OCM= ×10×（t﹣10）=5t﹣50；

∴S=

（3）

解：分为两种情况：①当M在OA上时，OB=OM=5，△COM≌△AOB．

∴AM=OA﹣OM=10﹣5=5

∴动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动5个单位，所需要的时间是5秒钟；

M′（5，0），

②当M在AO的延长线上时，OM=OB=5，

则M″（﹣5，0），

∴动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动15个单位，所需要的时间是15秒钟；

连接M″N交y轴于P，

∴当t为5或15时，△COM≌△AOB，

∵C（0，10），M′（5，0），

∴直线CM′为：y=﹣2x+10，

由 解得 ，

∴N（ ， ），

∵M″（﹣5，0），

∴直线M″N为y= x+2，

∴P点的坐标为（0，2）；

【解析】（1）由直线L的函数解析式，令y=0求A点坐标，x=0求B点坐标；（2）由面积公式S= ×|OM|×|OC|，求出S与t之间的函数关系式；（3）若△COM≌△AOB，OM=OB则t时间内移动了AM，可算出t值，并得到M′和M″点坐标，根据M′的坐标和C的坐标求得直线CM′的解析式，再结合直线AB
的解析式求得交点N的坐标，根据N的坐标和M″的坐标求得直线NM″的解析式，即可求得与y轴的交点P的坐标；