Question

【题目】已知，如图1，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OC交对角线BD于点F，延长AO交BD于点E，OE=OF.

（1）求证：BE=FD；

（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF，⊙O的半径，求四边形ABCD的面积；

（3）如图3，若AD=BC；

①求证：；②若，直接写出CD的长.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）12；（3）①见详解，②3-

【解析】

（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；
（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD=BDAM+

BDCM=BDAC即可求解；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性质，完全平方公式等知识即可；
②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，想办法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理构建方程即可．

（1）证明：如图1中，作OH⊥BD于H．

∵OE=OF，OH⊥EF，
∴EH=HF，
∵OH⊥BD，
∴BH=HD，
∴BE=DF；

（2）解：如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB．

∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，
∴∠OEF=∠OAC=45°，
∴∠AME=90°，即AC⊥BD，
连接OB．设OH=a，
∵BE=EF，
∴BE=2EH=2OH=2a，
在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，

∴a2+（3a）2=（2）2，

∴a=或-（舍弃），
∴BD=BE+EF+DF=6a=6，
在Rt△AOC中，AC=AO=2，
∴S四边形ABCD=BDAM+BDCM=BDAC=×2×6=12；

（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．

∵OE=OF，OA=OC，
∴∠EOH=∠EOF=（∠EAC+∠ACO）=×2∠OAC=∠OAC，
∴AC∥OH，
∴AC⊥BD，
∵AD=BC，
∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，
∴AB=BM，CD=DM，CM=DM，
∴ABCD+BC2=BMDM+BM2+CM2=（BM+DM）2=BD2；

②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，
∵∠BOC=2∠BDC=90°，
∴BC=OB=2，
∵ABCD+BC2=BD2，ABCD=AO2=12，
∴12+24=BD2，
∴BD=6（负根已经舍弃），
在Rt△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，
∴（2）2=（6-x）2+x2，
∴x=3-或3+（舍弃），
∴CD=x=3-．