Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2

2

，点F是BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，延长BE交AC于点D．
（1）求证：△AEB≌△AED；
（2）求EF的长．
（3）连接DF，求证：四边形AEFD是平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE，再加上∠AEB=∠AED=90°，公共边AE，可利用ASA定理证明△AEB≌△AED；
（2）首先利用勾股定理计算出AC长，根据全等三角形的性质可得EB=ED，AD=AB=1，然后利用中位线定理可得EF=

1

2

DC，可得答案；
（3）根据中位线定理可得AC∥EF，再由AD=EF=1，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形AEFD是平行四边形．

解答：（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AED=90°，
在△ABE和△ADE中，

∠BAE=∠DAE AE=AE ∠AEB=∠AED

，
∴△AEB≌△AED（ASA）；

（2）解：∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2

2

，
∴AC=

AB2+BC2

=

8+1

=3，
∵△AEB≌△AED，
∴AD=AB=1，EB=DE，
∴DC=3-1=2，
∵点F是BC的中点，EB=DE，
∴EF=

1

2

DC=1；

（3）证明：∵点F是BC的中点，EB=DE，
∴AC∥EF，
∵EF=AD=1，
∴四边形AEFD是平行四边形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，以及平行四边形的判定，关键是正确证明EF=

1

2

DC=1．