Question

【题目】四边形的对角线交点，点分别为边的中点．有下列四个推断，

①对于任意四边形，四边形都是平行四边形；

②若四边形是平行四边形，则与交于点；

③若四边形是矩形，则四边形也是矩形；

④若四边形是正方形，则四边形也一定是正方形．

所有正确推断的序号是_____________．

Answer 1

【答案】①②

【解析】

根据四边形的性质及中位线的性质推导即可．

①如图所示：

∵M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点

∴且，且

∴且

∴MNPQ是平行四边形

故①正确；

②如图所示：

∵ABCD是平行四边形，且N，Q分别是BC，AD中点

∴

∵O为AC中点，

∴

∴N，O，Q三点共线

同理可得：M，O，P三点共线，

故MP与NQ交于点O

故②正确

③如图所示：

∵ABCD为矩形

∴AC=BD

∵M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点

∴且，且，且

∴且

∴MNPQ是平行四边形

∵AC=BD，

∴MN=PN

∴MNPQ为菱形

故③错误；

④如图所示：

∵MNPQ为正方形

∴MN=PN，且

∵M，N，P，Q分别是AB，BC，CD ,DA中点

∴且，且

∴AC=BD，且

∴ABCD可为正方形，也可为对角线垂直的等腰梯形

故④错误，

故答案为：①②．