Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=-x+3与二次函数y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．
（1）求二次函数y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c的表达式；
（2）连接AB，求AB的长；
（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；
（3）根据线段中点的性质，可得M点的坐标，根据旋转的性质，可得MN与BM的关系，根据平行四边形的判定，可得答案．

解答 解：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．
由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．
将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{25}{2}+5b+c=c}\\{-\frac{1}{2}+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
（2）联立抛物线与直线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
即B（2，1），C（5，-2）．
由勾股定理，得
AB=$\sqrt{（2-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$；
（3）如图：
，
四边形ABCN是平行四边形，
证明：∵M是AC的中点，
∴AM=CM．
∵点B绕点M旋转180°得到点N，
∴BM=MN，
∴四边形ABCN是平行四边形．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等得出点（5，c）是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用解方程组得出交点坐标，又利用了勾股定理；利用了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．