Question

如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为点M．
（1）求OM的长；
（2）求弦CD的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）作辅助线；首先根据题意求出ON，根据30°角的直角三角形的性质即可求得OM；
（2）借助勾股定理求出CM的长度，即可解决问题．

解答：解：如图，连接OC，则CF=DF；
∵AB=10，
∴OA=5，
∵ON：AN=2：3，
∴ON=2，
∵∠ANC=30°，
∴∠ONM=30°，
∴OM=

1

2

ON=1；
（2）由勾股定理得：
CM²=CO²-OM²
=25-1=24，
∴CM=2

6

，
∴CD=2CM=4

6

．

点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．