Question

阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S_△ABC=

1

2

ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
（3）抛物线上是否存在一点P，使S_△PAB=

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S_△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知了顶点C坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据A点的坐标可求出二次函数的解析式．然后根据求出的二次函数的解析式，求出B点的坐标，然后可用待定系数法用B、A的坐标求出AB所在直线的解析式；
（2）要求三角形CAB的面积，根据题中给出的求三角形面积的求法，那么要先求出水平宽和铅垂高，求铅垂高就要求出C，D两点纵坐标，C点的坐标已知，可用（1）中的一次函数求出D点的纵坐标，那么C，D两点的纵坐标的差的绝对值就是三角形CAB的铅垂高，而水平宽是A点的横坐标，这样可根据题中给出的求三角形的面积的方法得出三角形CAB的面积；
（3）可先根据（2）中三角形CAB的面积得出三角形PAB的面积，三角形PAB中，水平宽是A的横坐标为定值，因此根据三角形PAB的面积可得出此时的铅垂高，然后用抛物线的解析式以及一次函数的解析式，先表示出铅垂高，然后根据由三角形PAB的面积求出的铅垂高可得出关于x的方程，即可得出x的值，然后代入二次函数式中即可得出此点的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y₁=a（x-1）²+4
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3
设直线AB的解析式为：y₂=kx+b
由y₁=-x²+2x+3求得B点的坐标为（0，3）
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y₂=-x+3；

（2）因为C点坐标为（1，4）
所以当x=1时，y₁=4，y₂=2
所以CD=4-2=2
S_△CAB=

1

2

×3×2=3（平方单位）；

（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x
由S_△PAB=

9

8

S_△CAB
得：

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2

×3×（-x²+3x）=

9

8

×3
化简得：4x²-12x+9=0
解得，x₁=x₂=

3

2

，
将x=

3

2

代入y₁=-x²+2x+3中，
解得P点坐标为（

3

2

，

15

4

）．

点评：本题结合三角形面积的求法考查了二次函数以及一次函数的综合应用，读懂题意，弄清水平宽和铅垂高的意义是解题的关键．