Question

17．已知∠A是锐角，且tanA，$\frac{1}{tanA}$是关于x的一元二次方程x²+2kx+k²-3=0的两个实数根．
（1）求k的值；
（2）问∠A能否等于45°，请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据tanA•$\frac{1}{tanA}$=1和根与系数的关系x₁•x₂=k²-3，列出关于k的方程求解，注意角A是锐角，所以tanA＞0，$\frac{1}{tanA}$＞0，所以x₁+x₂=-2k＜0，然后可以确定k的值；
（2）若A=45°，则tanA=$\frac{1}{tanA}$=1，即方程的解是x=1，代入方程x²-4x+4-3=0的左右两边不相等，即1不是方程的解，说明A不能取45°．

解答 解：（1）∵tanA，$\frac{1}{tanA}$是关于x的一元二次方程x²+2kx+k²-3=0的两个实数根，
∴tanA•$\frac{1}{tanA}$=1=k²-3，
即1=k²-3，k²=4，
∴k=±2．
由∠A是锐角知tanA＞0，$\frac{1}{tanA}$＞0．
∴2k=-（tanA+$\frac{1}{tanA}$）＜0，
即k＜0，
∴k=-2，
此时方程的根的判别式△=（-4）²-4[（-2）²-3]=12＞0，
所以方程有实数根，
∴k=-2；

（2）若A=45°，则tanA=$\frac{1}{tanA}$=1，
将x=1代入方程x²-4x+4-3=0，
左边=1-4+1=-4≠0
∴1不是方程的根，
∴A不能取45°．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．