Question

【题目】已知抛物线（是常数）与轴交于两点，与轴交于点.

（Ⅰ）当时，求抛物线的解析式及顶点坐标；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，为抛物线上的一个动点.

①求当关于原点的对称点落在直线上时，求的值；

②当关于原点的对称点落在第一象限内，取得最小值时，求的值及这个最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），抛物线的顶点坐标为 ； （Ⅱ）①的值为或；②的值为，的最小值为

【解析】

（Ⅰ）用待定系数法求出b、c即可得出解析式和顶点坐标;

（Ⅱ）①先用待定系数法求出直线BC的解析式，由于点P’与点P（m,t）关于原点对称，故点P’的坐标为（-m,-t），将其代入直线BC解析式，即可求解；

②点P’落在第一象限可得m<0,t<0，连接AP’，过点P’作P’H⊥x轴于点H，则H（-m，0），可得在Rt△P’AH中，，可以得到的长度关于m的函数关系式，通过配方法可以求出的最小值.

（Ⅰ）∵抛物线 经过点A（-1,0）C（0，-3），

∴，解得.

∴抛物线的解析式为

∵，

∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）.

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可知与x轴交点B的坐标为（3,0），与y轴交点C的坐标为（0，-3）.

设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），

∴.解得.

∴直线BC的解析式为y=x-3.

∵点P’与点P（m,t）关于原点对称，∴点P’的坐标为（-m,-t）.

∵点P关于原点的对称点P’ （-m,-t）落在直线BC上，

∴-t=-m-3，即t=m+3.

∵点P（m,t）在抛物线上，∴.

∴.解得或.

∴的值为或.

②∵点P（m,t）关于原点的对称点P’ （-m,-t）落在第一象限内，

∴-m>0,-t>0，即m<0,t<0.

∵点P（m,t）在抛物线上，∴..

∴

连接AP’，过点P’作P’H⊥x轴于点H，则H（-m，0）.

∵A（-1,0），∴.

∵在Rt△P’AH中，，

∴，

∵1>0，∴当时，有最小值.

∴，

解得或（舍去），

∴的值为，的最小值为.