Question

【题目】如图，一次函数y＝mx＋2m+3的图像与y＝－x的图像交于点C，且点C的横坐标为－3，与x轴、y轴分别交于点A、点B．

（1）求m的值与AB的长；

（2）若点D（9，0），连结BD，求证△ABD为直角三角形.

（3）在y轴上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，若存在请求出P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=；；（2）见解析；（3）存在，（6－，0）或（6＋，0）或（0,﹣6）或（0，）.

【解析】

（1）先求出C点坐标，然后将C点坐标代入一次函数解析式中，即可求出m，然后分别求出A、B两点坐标，根据勾股定理即可求出AB的长；

（2）先计算出AD的长，然后根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理的逆定理，即可证出△ABD为直角三角形；

（3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，然后分别求出点P的坐标即可.

解：（1）将x=－3代入y＝－x中得：y=

∴C点坐标为：（－3，）

将C点坐标代入y＝mx＋2m+3中，得：＝－3m＋2m+3

解得：m=

∴一次函数的解析式为：y＝x＋6

当x=0时，y=6，当y=0时，x=﹣4

∴B点坐标为（0,6），点A的坐标为（﹣4，0）

∴OB=6，OA=4

根据勾股定理：AB=；

（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），点D点坐标为（9，0）

∴AD=9－（﹣4）=13

根据勾股定理：BD=

∵AB2+BD2=169，AD2=169

∴AB2+BD2= AD2

∴△ABD为直角三角形

（3）存在，

①若BP=BA时

如下图所示，此时也有两种情况，

∵AB=，点B的坐标为（0,6）

∴P1的坐标为（6－，0），P2的坐标为（6＋，0）；

②若AB=AP时，如下图所示：

∵AO⊥BP

∴BO=OP

∴此时点P的坐标为（0,﹣6）；

③若BP=AP时，如下图所示

设OP=x，则PB=PA=6－x

根据勾股定理：

即：

解得：

此时P点坐标为（0，）

综上所述：P点坐标为：（6－，0）或（6＋，0）或（0,﹣6）或（0，）.