Question

11．如图，正三角形ABC的边长为6$\sqrt{3}$，当圆心O从点A出发，沿着线路AB-BC-CA运动，最后回到点A，⊙O与△ABC任意一边都不会相切时，称为“零相切”；在运动过程中，当⊙O只与△ABC一边相切时，称为“单次相切”；在运动过程中，当⊙O与△ABC两边都相切时，成为继“双次相切”．
（1）当⊙O的半径为$\sqrt{3}$．⊙O与△ABC首次“单次相切”时，OA的长为2；⊙O与△ABC第二次“单次相切”时，OA的长为6$\sqrt{3}$-2；在整个运动过程中，⊙O与△ABC“单次相切”的次数为4；⊙O在运动过程中有可能与△ABC“双次相切”吗？不可能．（填“可能”或“不可能”）
（2）若⊙O的半径为9，在整个运动过程中，⊙O与△ABC“单次相切”的次数为3．此时⊙O在运功过程中有可能与△ABC“双次相切”吗？不可能（填“可能”或“不可能”）
（3）依照（1）、（2）研究方法，请你直接写出，在运动过程中，半径r的范围及相应的相切情况的次数．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，⊙O与△ABC首次“单次相切”时，与边AC相切，过点O向三角形的三边作垂线利用锐角三角函数可得AO；第二次相切时与边BC相切，同理可得O″B，可得OA；同理可得第二次与BC相切，与AB相切，可得4次；根据双相切定义可知⊙O到两边距离相等，即为三边的中点，可得OP，OP＞r，可知无双相切；
（2）与（1）同理可得半径为9时，AO=6$\sqrt{3}$，可知当圆心在A，B，C上时⊙O与△ABC“单次相切”，所以可得共3次单相切；因为⊙O的半径不等于$\frac{9}{2}$，所以无双相切；
（3）由（1）（2）分析可得结论．

解答 解（1）如图1，过O′点作O′P′⊥AC，
在Rt△AO′P′中，∠A=60°，O′P′=$\sqrt{3}$，
∴AO=$\frac{O′P′}{sin∠A}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，
∴⊙O与△ABC首次“单次相切”时，OA的长为2；
同理可得，O″B=$\frac{O″P″}{sin∠B}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，
∴OA=6$\sqrt{3}$-2，
∴⊙O与△ABC第二次“单次相切”时，OA的长为6$\sqrt{3}$-2；
同理可得，⊙O与△ABC“单次相切”的次数为4，
若双次相切则⊙O到两边距离相等，即为三边的中点，
此时，OP=$3\sqrt{3}•sin60°$=$\frac{9}{2}$，
∵$\sqrt{3}＜\frac{9}{2}$，
∴不可能双次相切；
故答案为：2，6$\sqrt{3}-2$，4，不可能；

（2）如图2，AO′=$\frac{OP}{sin∠A}$=$\frac{9}{sin60°}$=6$\sqrt{3}$，
∴当圆心在A，B，C上时⊙O与△ABC“单次相切”，
∴⊙O与△ABC“单次相切”的次数为3，
由（1）得，
∵⊙O的半径不等于$\frac{9}{2}$，
∴不可能双次相切，
故答案为：3，不可能；

（3）依照（1）、（2）研究方法可得，当0＜r＜$\frac{9}{2}$时，．⊙O与△ABC有且仅有单相切4次；
当r=$\frac{9}{2}$时，有且仅有双相切3次；
当$\frac{9}{2}$＜r≤9时，有且仅有单相切3次；
当r＞9时，无相切．

点评 本题主要考查了切线的性质和三角函数，理解单相切与双相切的定义，数形结合是解答此题的关键．