Question

19．如图，抛物线y=x²-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上．
（1）抛物线的对称轴是直线x=1，顶点A的坐标是（1，-4），
c=-3，BD与直线l的位置关系是平行；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P，A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标，根据二次函数的解析式求得B，D两点的坐标，于是求出直线BD的解析式，根据两直线斜率相等，得到结论；
（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．
（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD∥PB，AD=PB、②AB∥PD，AB=PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=-$\frac{-2}{2}$=1，且顶点A在y=x-5上，
∴当x=1时，y=1-5=-4，
∴A（1，-4），
∴-4=1²-2+c，
∴c=-3，
∴B（0，-3），
令y=0，即x²-2x-3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴D（3.0），
∴直线BD的解析式为：y=x-3，
∴BD∥直线l，
故答案为：x=1，（1，-4），（0，-3），平行；

（2）△ABD是直角三角形．
将A（1，-4）代入y=x²-2x+c，可得，1-2+c=-4，∴c=-3，
∴y=x²-2x-3，∴B（0，-3）
当y=0时，x²-2x-3=0，x₁=-1，x₂=3
∴C（-1，0），D（3，0），
BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4-3）²+1²=2，AD²=（3-1）²+4²=20，
BD²+AB²=AD²，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

（3）存在．
由题意知：直线y=x-5交y轴于点E（0，-5），交x轴于点F（5，0）
∴OE=OF=5，
又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．
设P（x₁，x₁-5），则G（1，x₁-5）
则PG=|1-x₁|，AG=|5-x₁-4|=|1-x₁|
PA=BD=3$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：
（1-x₁）²+（1-x₁）²=18，x₁²-2x₁-8=0，x₁=-2或4
∴P（-2，-7）或P（4，-1），
存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定等基础知识，综合性较强；（3）题应注意分类讨论，以免漏解，正确的作出辅助线是解题的关键．