Question

如图，△ABC是等边三角形，点F在直线BC上，∠MFN=60°，∠MFN的一边FM始终过△ABC的顶点A，另一边FN与△ABC的外角平分线交于点E，当点F在BC的任意位置时，写出关于线段FA、FE的数量关系的猜想，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：作FG∥AC，易证AG=FC和∠AGF=120°、∠BCE=120°、∠CFE=∠BAF，即可证明△AGF≌△FCE，即可求得AF=EF．

解答：证明：作FG∥AC，

∵FG∥AC，
∴△BGF是等边三角形，
∴BG=BF，∠AGF=120°，
∴AG=FC，
∵CE平分∠ACB外角，
∴∠BCE=120°，
∵∠AFC=∠B+∠BAF=∠AFD+∠CFE，∠MFE=60°，
∴∠CFE=∠BAF，
∵在△AGF和△FCE中，

∠BAF=∠CFE AG=FC ∠AGF=∠BCE=120°

，
∴△AGF≌△FCE，（ASA）
∴AF=EF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AGF≌△FCE是解题的关键．