Question

【题目】已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．

（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．

①求的值；

②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；

（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．

Answer 1

【答案】（1）①；②， S的最大值是24；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）①由EF∥BC，可得，所以，据此求出的值即可．

②由EH=x，求出AK=8﹣x，再由=，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．

（2）根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方形PQMN的边长各是多少即可．

试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴，∴==，即的值是；

②∵EH=x，∴KD=EH=x，AK=8﹣x，∵=，∴EF=，∴S=EHEF=，即，∴当x=4时，S的最大值是24；

（2）设正方形的边长为a，①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，，解得a=；

②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12÷2=6，∴AB=AC===10，∴AB或AC边上的高等于：ADBC÷AB=8×12÷10=，∴，解得a=；

综上，可得正方形PQMN的边长是或．