Question

【题目】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当△AOD是直角三角形且∠ADO=90°时，求α的度数；

（3）当α=110°或125°或140°时，判断△AOD的形状，请选择其中一种情况说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）150°；（3）△AOD是等腰三角形，证明见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得∠ACB=60°，然后根据旋转的性质可得∠OCB=∠DCA，OC=DC，即可证出∠ACB=∠OCD=60°，从而证出结论；

（2）根据等边三角形的性质和已知条件即可求出∠ADC，然后根据旋转的性质即可求出结论；

（3）根据α的度数、旋转的性质、周角的定义、三角形的内角和定理分别求出△AOD的三个内角即可得出结论．

（1）证明：∵△ABC为等边三角形

∴∠ACB=60°

∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC

∴∠OCB=∠DCA，OC=DC

∴∠OCB＋∠ACO=∠DCA＋∠ACO

∴∠ACB=∠OCD=60°

∴△COD是等边三角形

（2）解：∵△COD是等边三角形

∴∠CDO=60°

∵∠ADO=90°

∴∠ADC=∠CDO+∠ADO=60°+90°=150°

∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC

∴ α=∠ADC=150°

（3）解：当α=110°或125°或140°时，△AOD均是等腰三角形

当α=110°时，理由如下：

∴α=∠ADC=110°

∵∠ADO=∠ADC -∠CDO =50°，∠AOD=360°-∠AOB-α-∠COD =80°

∴∠OAD=180°-∠ADO -∠AOD =50°=∠ADO

∴△AOD是等腰三角形；

当α=125°时，理由如下：

∴α=∠ADC=125°

∵∠ADO=∠ADC -∠CDO =65°，∠AOD=360°-∠AOB-α-∠COD =65°

∴∠ADO =∠AOD

∴△AOD是等腰三角形；

当α=140°时，理由如下：

∴α=∠ADC=140°

∵∠ADO=∠ADC -∠CDO =80°，∠AOD=360°-∠AOB-α-∠COD =50°

∴∠OAD=180°-∠ADO -∠AOD =50°=∠AOD

∴△AOD是等腰三角形

以上证明方法任选其一即可．