Question

已知点P为⊙O所在平面上一点，过点P的两条直线PA，PC分别交⊙O于A，B和C，D两点，且PO平分∠APC．求证：PA=PC．

Answer 1

考点：垂径定理,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OA、OB，如图，根据角平分线定理得到OE=OF，再证明Rt△AOE≌Rt△COF得到AE=CF，然后证明Rt△POE≌Rt△POF，
得到PE=PF，则PE-AE=PF-CF，所以PA=PC．

解答：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OA、OB，如图，
∵PO平分∠APC，
∴OE=OF，
在Rt△AOE和Rt△COF中，

OE=OF OA=OC

，
∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，
在Rt△POE和Rt△POF中，

OE=OF PO=PO

，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE=PF，
∴PE-AE=PF-CF，
即PA=PC．

点评：本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了角平分线定理和直角三角形全等的判定方法．