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【题目】在△ABC中,AB=AC,点D是边BC所在的直线上的动点(点D不与B、C重合),过点D作DE∥AC交直线AB于点E,DF∥AB交直线AC于点F.
(1)求证:AF=DE;
(2)若AC=5,DE=6,则DF=
(3)试探究:D在不同位置时,DE,DF,AC具有怎样的数量关系,直接写出结论:
①当点D在线段BC上时,关系是:
②当点D在线段BC延长线上时,关系是:
③当点D在线段CB延长线上时,关系是:
(4)请选择(3)中你探究获得的其中一个结论证明之.

【答案】
(1)

证明:∵DE∥AC,DF∥AB,

∴四边形AEDF是平行四边形,

∴AF=DE


(2)1或11
(3)DE+DF=AC;DE﹣DF=AC;DF﹣DE=AC
(4)

解:选择:①;同(1)得:四边形AEDF是平行四边形,

∴DF=AE,

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

∵DF∥AB,

∴∠FDC=∠ABC,

∴∠FDC=∠ACB,

∴DF=CF,

∵AF+CF=AC,

∴DE+DF=AC


【解析】(2)解:分两种情况:

① 如图2所示:
同(1)得:四边形AEDF是平行四边形,
∴DF=AE,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵DE∥AC,
∴∠BDE=∠ACB,
∴∠ABC=∠BDE,
∴BE=DE=6,
∴DF=AE=BE﹣AB=6﹣5=1;
②如图2所示:同①得:DF=AE,BE=DE=6,
∴DF=AE=6+5=11;
综上所述:DF的长为1或11;
所以答案是:1或11;
·(3)①由(1)(2)得:DE=AF,DF=CF,
∵AC=AF+CF,
∴DE+DF=AC;
所以答案是:DE+DF=AC;
②由(1)(2)得:DE=AF,DF=CF,
∵AC=AF﹣CF,
∴DE﹣DF=AC;
所以答案是:DE﹣DF=AC;
③由(1)(2)得:DE=AF,DF=AE,BE=DE,
∵AB=AE﹣BE,AC=AB,
∴DF﹣DE=AC;
所以答案是:DF﹣DE=AC;
【考点精析】关于本题考查的平行四边形的性质,需要了解平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分才能得出正确答案.

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