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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2 x﹣ 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.

(1)求直线AE的解析式;
(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;
(3)点G是线段CE的中点,将抛物线y= x2 x﹣ 沿x轴正方向平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上,是否存在一点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵y= x2 x﹣

∴y= (x+1)(x﹣3).

∴A(﹣1,0),B(3,0).

当x=4时,y=

∴E(4, ).

设直线AE的解析式为y=kx+b,将点A和点E的坐标代入得:

解得:k= ,b=

∴直线AE的解析式为y= x+


(2)

解:设直线CE的解析式为y=mx﹣ ,将点E的坐标代入得:4m﹣ = ,解得:m=

∴直线CE的解析式为y= x﹣

过点P作PF∥y轴,交CE与点F.

设点P的坐标为(x, x2 x﹣ ),则点F(x, x﹣ ),

则FP=( x﹣ )﹣( x2 x﹣ )= x2+ x.

∴△EPC的面积= ×( x2+ x)×4=﹣ x2+ x.

∴当x=2时,△EPC的面积最大.

∴P(2,﹣ ).

如图2所示:作点K关于CD和CP的对称点G、H,连接G、H交CD和CP与N、M.

∵K是CB的中点,

∴k( ,﹣ ).

∵点H与点K关于CP对称,

∴点H的坐标为( ,﹣ ).

∵点G与点K关于CD对称,

∴点G(0,0).

∴KM+MN+NK=MH+MN+GN.

当点O、N、M、H在条直线上时,KM+MN+NK有最小值,最小值=GH.

∴GH= =3.

∴KM+MN+NK的最小值为3.


(3)

解:如图3所示:

∵y′经过点D,y′的顶点为点F,

∴点F(3,﹣ ).

∵点G为CE的中点,

∴G(2, ).

∴FG= =

∴当FG=FQ时,点Q(3, ),Q′(3, ).

当GF=GQ时,点F与点Q″关于y= 对称,

∴点Q″(3,2 ).

当QG=QF时,设点Q1的坐标为(3,a).

由两点间的距离公式可知:a+ = ,解得:a=﹣

∴点Q1的坐标为(3,﹣ ).

综上所述,点Q的坐标为(3, )或′(3, )或(3,2 )或(3,﹣ ).


【解析】(1)抛物线的解析式可变形为y= (x+1)(x﹣3),从而可得到点A和点B的坐标,然后再求得点E的坐标,设直线AE的解析式为y=kx+b,将点A和点E的坐标代入求得k和b的值,从而得到AE的解析式;(2)设直线CE的解析式为y=mx﹣ ,将点E的坐标代入求得m的值,从而得到直线CE的解析式,过点P作PF∥y轴,交CE与点F.设点P的坐标为(x, x2 x﹣ ),则点F(x, x﹣ ),则FP= x2+ x.由三角形的面积公式得到△EPC的面积=﹣ x2+ x,利用二次函数的性质可求得x的值,从而得到点P的坐标,作点K关于CD和CP的对称点G、H,连接G、H交CD和CP与N、M.然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标,当点O、N、M、H在条直线上时,KM+MN+NK有最小值,最小值=GH;(3)由平移后的抛物线经过点D,可得到点F的坐标,利用中点坐标公式可求得点G的坐标,然后分为QG=FG、QG=QF,FQ=FQ三种情况求解即可.
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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加数的个数n

S

1

2=1×2

2

2+4=6=2×3

3

2+4+6=15=3×4

4

2+4+6+8=20=4×5

5

2+4+6+8+10=30=5×6


(1)根据表中的规律猜想:用n的式子表示S的公式为:S=2+4+6+8+…+2n=
(2)如下数表是由从1开始的连续自然数组成,观察规律:

①第n行的第一个数可用含n的式子表示为

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(1)求小亮从乙地到甲地过程中(m)(min)之间的函数表达式;

(2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中(m)( min)之间的函数表达式;

(3)在图②中,补全整个过程中(m)(min)之间的函数图象,并确定的值.

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分组

频数

百分比

600800

2

5

8001000

6

15

10001200

45

9

22.5

16001800

2

合计

40

100

根据以上提供的信息,解答下列问题:

1)补全频数分布表.

2)补全频数分布直方图.

3)绘制相应的频数分布折线图.

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(1)当∠APB=28°时,求∠B和 的度数;
(2)求证:AC=AB.
(3)在点P的运动过程中
①当MP=4时,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值;
②记AP与圆的另一个交点为F,将点F绕点D旋转90°得到点G,当点G恰好落在MN上时,连结AG,CG,DG,EG,直接写出△ACG和△DEG的面积之比.

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