Question

【题目】若一个三位数满足条件：其百位数字与十位数字之和为个位数字，则称这样的三位数为“吉祥数”，将“吉祥数”m的百位数字与个位数字交换位置，交换后所得的新数叫做m的“如意数”．如156是一个“吉祥数”，651是156的“如意数”．在吉祥数中当|x﹣y|＝0或1时，称其为“和谐吉祥数”．

（1）个位数字为6的“和谐吉祥数”是　 　，个位数字为9的“和谐吉祥数”是　 　．

（2）证明：任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除；

（3）已知m为“吉祥数”，n是m的“如意数”，若m与n的和能被8整除，求m．

Answer 1

【答案】（1）336；459或549；（2）见解析；（3）m的值为167或246或325或404或729或808．

【解析】

（1）首先应根据题目中所给的“和谐吉祥数”的概念，将它们表示出来即可；

（2）由于[100（x+y）+10y+x]﹣（100x+10y+x+y）＝101x+110y﹣101x﹣11y＝99y＝9×11y，依此即可得到任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除；

（3）首先应根据题意表示出m、n，又因为m与n的和能被8整除．因此根据它们的范围一一验证即可求出最终m的值．

解：（1）因为3+3=6,|3-3|=0，所以个位数字为6的“和谐吉祥数”是 336，

因为4+5=9,|5-4|=1，所以个位数字为9的“和谐吉祥数”是 459或549．

故答案为：336；459或549；

（2）证明：设吉祥数的百位为x，十位为y，则个位为x+y，则这个吉祥数为：100x+10y+x+y，它对应的如意数为100（x+y）+10y+x.

∵[100（x+y）+10y+x]﹣（100x+10y+x+y）＝101x+110y﹣101x﹣11y＝99y＝9×11y，

∴任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除；

（3）设吉祥数的百位为x，十位为y，则个位为x+y，则这个吉祥数为：100x+10y+x+y，它对应的如意数为100（x+y）+10y+x.

∵m+n＝（100x+10y+x+y）+[100（x+y）+10y+x]＝101x+11y+101x+110y＝202x+121y=200x+120y+2x+y，

∴m与n的和能被8整除，则2x+y要能被8整除

∴x＝1，y＝6时，m+n＝928，m=167；

x＝2，y＝4时，m+n＝888，m=246；

x＝3，y＝2时，m+n＝848，m＝325；

x＝4，y＝0时，m+n＝808,m=404；

x＝5，y＝6时，x+y=11（不合题意舍去）；

x＝6，y＝4时，x+y=10（不合题意舍去）；

x＝7，y＝2时，m+n＝1656，m＝729；

x＝8，y＝0时，m+n＝1616，m=808；

x＝9，y＝6时，x+y=15（不合题意舍去）；

故m的值为167或246或325或404或729或808．