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【题目】如图,AB是⊙O的直径,且AB=4,点C在半径OA上(点C与点O、A不重合),过点CAB的垂线交⊙O于点D,连接OD,过点BOD的平行线交⊙O于点E,交CD的延长线于点F.

(1)若∠F=30°,请证明E 的中点;

(2)若AC=,求BEEF的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)BEEF=5.

【解析】

(1)连接OE,如图1所示,根据已知条件易证△OBE为等边三角形,即可得∠OEB=BOE=60°.又因ODBF,根据平行线的性质可得∠DOE=BEO=BOE=60°,即可得;(2)过点QOMBEM,如图2所示,先证明△OBM≌△DOC,可得BE=2OC=3;再证明△COD∽△CBF,根据相似三角形的性质求得BF=即可得EF=BF﹣BE=所以BEEF=3×=5.

(1)证明:连接OE,如图1所示.

CFAB,

∴∠FCB=90°.

∵∠F=30°,

∴∠OBE=60°.

OB=OE,

∴△OBE为等边三角形,

∴∠OEB=BOE=60°.

ODBF,

∴∠DOE=BEO=BOE=60°,

=

(2)过点QOMBEM,如图2所示.

OB=OE,

BE=2BM.

ODBF,

∴∠COD=B.

在△OBM和△DOC中,

∴△OBM≌△DOC(AAS),

BM=OC=2﹣=

BE=2OC=3.

ODBF,

∴△COD∽△CBF,

=,即=

BF=

EF=BF﹣BE=﹣3=

BEEF=3×=5.

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