【题目】如图,AB是⊙O的直径,且AB=4,点C在半径OA上(点C与点O、A不重合),过点C作AB的垂线交⊙O于点D,连接OD,过点B作OD的平行线交⊙O于点E,交CD的延长线于点F.
(1)若∠F=30°,请证明E是 的中点;
(2)若AC=,求BEEF的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)BEEF=5.
【解析】
(1)连接OE,如图1所示,根据已知条件易证△OBE为等边三角形,即可得∠OEB=∠BOE=60°.又因OD∥BF,根据平行线的性质可得∠DOE=∠BEO=∠BOE=60°,即可得;(2)过点Q作OM⊥BE于M,如图2所示,先证明△OBM≌△DOC,可得BE=2OC=3;再证明△COD∽△CBF,根据相似三角形的性质求得BF=,即可得EF=BF﹣BE=,所以BEEF=3×=5.
(1)证明:连接OE,如图1所示.
∵CF⊥AB,
∴∠FCB=90°.
∵∠F=30°,
∴∠OBE=60°.
∵OB=OE,
∴△OBE为等边三角形,
∴∠OEB=∠BOE=60°.
∵OD∥BF,
∴∠DOE=∠BEO=∠BOE=60°,
∴=.
(2)过点Q作OM⊥BE于M,如图2所示.
∵OB=OE,
∴BE=2BM.
∵OD∥BF,
∴∠COD=∠B.
在△OBM和△DOC中,,
∴△OBM≌△DOC(AAS),
∴BM=OC=2﹣=,
∴BE=2OC=3.
∵OD∥BF,
∴△COD∽△CBF,
∴=,即=,
∴BF=,
∴EF=BF﹣BE=﹣3=,
∴BEEF=3×=5.
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【题目】在大课间活动中,同学们积极参加体育锻炼,小龙在全校随机抽取了一部分同学就“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查(每位同学必选且只选一项).下面是他通过收集的数据绘制的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息,解答以下问题:
(1)小龙一共抽取了 名学生.
(2)补全条形统计图;
(3)求“其他”部分对应的扇形圆心角的度数.
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【题目】甲、乙二人从学校出发去科技馆,甲步行一段时间后,乙骑自行车沿相同路线行进,两人均匀速前行,他们的路程差S(米)与甲出发时间t(分)之间的函数关系如图所示.下列说法:①乙先到达科技馆;②乙的速度是甲速度的2.5倍;③b=480;④a=24.其中,正确的是 ______(填序号).
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点),在建立的平面直角坐标系中,△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1.
(1)在图中标示出旋转中心P,并写出它的坐标;
(2)以原点O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2,在图中画出△A2B2C2,并写出C2的坐标.
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【题目】如图,已知正比例函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A、B两点,且点A的横坐标为4,
(1)求k的值;
(2)根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y=(k>0)于P、Q两点(P点在第一象限),若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224,求点P的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,以点M(6,8)为圆心,2为半径的圆上有一动点P,若A(﹣2,0),B(2,0),连接PA,PB,则当PA2+PB2取得最大值时,PO的长度为( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 10
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【题目】某校为了解学生“自主学习、合作交流” 的情况,对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查,将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中,求类所占圆心角的度数;
(3)学校想从被调查的类(1名男生2名女生)和D类(男女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习,请用画树形图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率.
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,BC=1,CD=2,AD=3,连接AC.
(1)求AC的长;
(2)判断三角形ACD的形状,并求出四边形ABCD的面积.
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