Question

8．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则（1）$\frac{AB}{AC}$的值是$\sqrt{2}$；（2）$\frac{BF}{EF}$的值是$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出$\frac{BF}{EF}=\frac{BG}{GA}$，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=$\sqrt{2}$BC求解．

解答 解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴AE∥FG，
∴$\frac{BF}{EF}=\frac{BG}{GA}$，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{CF=GF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴CB=GB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$AC，
∴$\frac{AB}{AC}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{BF}{EF}=\frac{BG}{GA}$=$\frac{BC}{\sqrt{2}BC-BC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案为：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$．

点评 本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系：CB=GB，AB=$\sqrt{2}$BC，再利用比例式求解．