Question

【题目】如图，在⊙O中，AB为直径，F是半圆弧AB的中点，E是弧BF上一点，直线AE与过点B的切线相交于点C，连接EF．

（1）若EF＝AB，求∠ACB的度数；

（2）若⊙O的半径为3，BC＝2，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）

【解析】

（1）连接OE、OF、AF，根据等边三角形的性质得到∠EOF＝60°，由圆周角定理得到∠EAF＝∠EOF＝30°，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；

（2）连BE、AF、BF，过F作FM⊥EF交AE于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出BE，证明△AFM≌△BFE，根据全等三角形的性质得到AM＝BE，EF＝FM，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．

解：（1）连接OE、OF、AF，

∵EF＝AB＝OE＝OF，

∴△EOF为等边三角形，

∴∠EOF＝60°，

由圆周角定理得，∠EAF＝∠EOF＝30°，

∵F是半圆弧AB的中点，

∴∠AOF＝90°，

∴∠OAF＝45°，

∴∠CAB＝15°，

∵BC为⊙O的切线，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝75°；

（2）连BE、AF、BF，过F作FM⊥EF交AE于M，

则∠AEB＝∠CEB＝90°．

∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝2，

∴AC＝＝＝2，

由面积法得，BE＝＝，

∴AE＝＝，

∵AB为直径，

∴∠AFB＝90°，又FM⊥EF，

∴∠AFM＝∠BFE，

在△AFM和△BFE中，

，

∴△AFM≌△BFE（ASA），

∴AM＝BE＝，EF＝FM．

∵EM＝AE﹣AM＝，

∴EF＝EM＝．