【题目】如图1,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.直线经过抛物线与坐标轴的两个交点B和C。
(1)求直线BC的解析式;
(2)点D是线段BC上的一个动点(与两个端点均不重合),过点D引y轴的平行线PD交抛物线于点P,设抛物线的对称轴为直线,如果以点P为圆心的⊙P与直线BC相切,请用点P的横坐标x表示⊙P的半径R。
(3)在(2)的基础上判断⊙P与直线的位置关系。
【答案】(1);(2);(3)当时,⊙P与抛物线对称轴x=1相离,当时,⊙P与抛物线对称轴x=1相切,当时,⊙P与抛物线对称轴x=1相交.
【解析】试题分析: 分别令求得三点的坐标,即可用待定系数法求出直线的解析式.
设点D坐标为()(0<x<4),P(),进而表示出,
作于点M,延长PD交x轴于点H,先用勾股定理求出的长,用三角函数即可表示出的半径
分类讨论即可.
试题解析:(1)令中y=0,得,
,
解得: ,
易知
将B、C坐标分别代入,得解得: ,
∴直线BC的解析式为: ;
(2)由题可设点D坐标为()(0<x<4),P(),
∴PD== ,(∵),
如图1,作于点M,延长PD交x轴于点H,则
,∴,
∴的半径 ,即;
图1 图2 图3
图4 图5 图6
(3)抛物线的对称轴是直线x=1,分类讨论:
①当与直线x=1在左侧相切(0<x<1),则,
整理得: ,解得: ,∵0<x<1,∴;
②当与直线在右侧相切(1<x<4),则,整理得: ,解得: ,∵1<x<4,∴;
综上所述,当或时, 与抛物线对称轴相离,如图2和图3所示;
当或时, 与抛物线对称轴相切,如图4和图5所示;
当时, 与抛物线对称轴相交,如图6所示.
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【题目】阅读计算:
阅读下列各式:,,……
回答下列三个问题:
(1)验证:(5×0.2)10=__________;510×0.210=__________.
(2)通过上述验证,归纳得出: =__________;=__________.
(3)请应用上述性质计算:
①
②.
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【题目】如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为50cm,与水平桌面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC,OB与水平桌面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°.(不考虑其他因素,结果精确到0.1cm. sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,≈1.73
(1)求该台灯照亮水平桌面的宽度BC.
(2)人在此台灯下看书,将其侧面抽象成如图2所示的几何图形,若书与水平桌面的夹角∠EFC为60°,书的长度EF为24cm,点P为眼睛所在位置,当点P在EF 的垂直平分线上,且到EF距离约为34cm(人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺≈34cm)时,称点P为“最佳视点”.请通过计算说明最佳视点P在不在灯光照射范围内?
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【题目】某销售公司5月份销售某种型号汽车,当月该型号汽车的进价为30万元/辆,若当月销售量超过5辆时,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆.根据市场调查,月销售量不会突破30台.
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30,且x为正整数),实际进价为y万元/辆,当0<x≤5时,y= ; 当5<x≤30时,y= ;(直接填最后结果)
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆,公司计划当月销售利润25万元,那么月需售出多少辆汽车?(注:销售利润=销售价﹣进价)
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【题目】如图,直线y=﹣x+3与x轴相交于点B,与y轴相交于点A,点E为线段AB中点,∠ABO的平分线BD与y轴相较于点D,点A、C关于点O对称.
(1)求线段DE的长;
(2)一个动点P从点D出发,沿适当的路径运动到直线BC上的点F,再沿射线CB方向移动2个单位到点G,最后从点G沿适当的路径运动到点E处,当P的运动路径最短时,求此时点G的坐标;
(3)将△ADE绕点A顺时针方向旋转,旋转角度α(0<α≤180°),在旋转过程中DE所在的直线分别与直线BC、直线AC相交于点M、点N,是否存在某一时刻使△CMN为等腰三角形,若存在,请求出CM的长,若不存在,请说明理由.
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【题目】现代营养学家用身体质量指数来判断人体的健康状态,这个指数等于人体质量(千克)与人体身高(米)平方得商,一个健康的人身体质量指数在20~25之间,身体质量指数低于18,属于不健康的瘦;身体质量指数高于30,属于不健康的胖。
(1)若一个人的质量为w千克,身高h米,用含字母w,h的代数式表示他的身体质量指数
(2)王先生的身高是1.75米,质量68千克,请判断他的身体是否健康。
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【题目】如图,矩形ABCD中,,.点G,E分别在边AB,CD上,点F,H在对角线AC上.若四边形EFGH是菱形,则AG的长是( )
A.B.5C.D.6
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【题目】如图,AB∥CD,EF与AB,CD分别交于点G,H,∠CHG的平分线HM交AB于点M,若∠EGB=50°,则∠GMH的度数为( )
A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°
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【题目】如图①,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BA=BC.动点E、F同时从点B出发,点E沿折线 BA–AD–DC运动到点C时停止运动,点F沿BC运动到点C时停止运动,它们运动时的速度都是1 cm/s.设E出发t s时,△EBF的面积为y cm2.已知y与t的函数图象如图②所示,其中曲线OM为抛物线的一部分,MN、NP为线段.
请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)AD= cm,BC= cm;
(2)求a的值,并用文字说明点N所表示的实际意义;
(3)直接写出当自变量t为何值时,函数y的值等于5.
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