Question

4．在等腰三角形中，AC=BC=20，AB=24，点E，F分别是线段AB，AC上的动点，（点E不与A，B重合）且∠CEF=∠B，则当AE=20或$\frac{50}{3}$时，△EFC为等腰三角形．

Answer 1

分析 分类讨论：当EC=EF，如图1，证明△AEC为等腰三角形，得到AE=AC=20；当FC=FE，如图2，证明△EAC∽△CAB，利用相似比计算AE的长．

解答 解：当EC=EF，如图1，

∴∠1=∠2，
∵AB=AC=20，
∴∠A=∠B，
∵∠CEF=∠B，
∴∠A=∠CEF，
∵∠1=∠A+∠3，
∴∠1=∠CEF+∠3=∠AEC，
∴∠AEC=∠2，
∴AE=AC=20；
当FC=FE，如图2，

∴∠ECF=∠CEF，
∵∠CEF=∠B=∠A，
∴∠A=∠B=∠ACE，
∴△EAC∽△CAB，
∴$\frac{AE}{CA}$=$\frac{CA}{AB}$，即$\frac{AE}{20}$=$\frac{20}{24}$，
∴AE=$\frac{50}{3}$，
综上所述，AE的长为20或$\frac{50}{3}$．
故答案为20或$\frac{50}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了等腰三角形的判定与性质和分类讨论思想的应用．