【题目】如图,在△ABC中,AC:BC:AB=3:4:5,⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈,若⊙O的半径为1,且圆心O运动的路径长为18,则△ABC的周长为_____.
【答案】30
【解析】
如图,首先利用勾股定理判定△ABC是直角三角形,由题意得圆心O所能达到的区域是△DEG,且与△ABC三边相切,设切点分别为G、H、P、Q、M、N,连接DH、DG、EP、EQ、FM、FN,根据切线性质可得:AG=AH,PC=CQ,BN=BM,DG、EP分别垂直于AC,EQ、FN分别垂直于BC,FM、DH分别垂直于AB,继而则有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH,从而可知DE=GP,EF=QN,DF=HM,DE∥GP,DF∥HM,EF∥QN,∠PEF=90°,根据题意可知四边形CPEQ是边长为1的正方形,根据相似三角形的判定可得△DEF∽△ACB,根据相似三角形的性质可知:DE∶EF∶FD=AC∶CB∶BA=3∶4∶5,进而根据圆心O运动的路径长列出方程,求解算出DE、EF、FD的长,根据矩形的性质可得:GP、QN、MH的长,根据切线长定理可设:AG=AH=x,BN=BM=y,根据线段的和差表示出AC、BC、AB的长,进而根据AC∶CB∶BA=3∶4∶5列出比例式,继而求出x、y的值,进而即可求解△ABC的周长.
∵AC∶CB∶BA=3∶4∶5,
设AC=3a,CB=4a,BA=5a(a>0)
∴
∴△ABC是直角三角形,
设⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈,如图所示,
连接DE、EF、DF,
设切点分别为G、H、P、Q、M、N,
连接DH、DG、EP、EQ、FM、FN,
根据切线性质可得:
AG=AH,PC=CQ,BN=BM
DG、EP分别垂直于AC,EQ、FN分别垂直于BC,FM、DH分别垂直于AB,
∴DG∥EP,EQ∥FN,FM∥DH,
∵⊙O的半径为1
∴DG=DH=PE=QE=FN=FM=1,
则有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH,
∴DE=GP,EF=QN,DF=HM,DE∥GP,DF∥HM,EF∥QN,∠PEF=90°
又∵∠CPE=∠CQE=90°, PE=QE=1
∴四边形CPEQ是正方形,
∴PC=PE=EQ=CQ=1,
∵⊙O的半径为1,且圆心O运动的路径长为18,
∴DE+EF+DF=18,
∵DE∥AC,DF∥AB,EF∥BC,
∴∠DEF=∠ACB,∠DFE=∠ABC,
∴△DEF∽△ABC,
∴DE:EF:DF=AC:BC:AB=3:4:5,
设DE=3k(k>0),则EF=4k,DF=5k,
∵DE+EF+DF=18,
∴3k+4k+5k=18,
解得k=,
∴DE=3k=,EF=4k=6,DF=5k=
,
根据切线长定理,
设AG=AH=x,BN=BM=y,
则AC=AG+GP+CP=x++1=x+5.5,
BC=CQ+QN+BN=1+6+y=y+7,
AB=AH+HM+BM=x++y=x+y+7.5,
∵AC:BC:AB=3:4:5,
∴(x+5.5):(y+7):(x+y+7.5)=3:4:5,
解得x=2,y=3,
∴AC=7.5,BC=10,AB=12.5,
∴AC+BC+AB=30.
所以△ABC的周长为30.
故答案为30.
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【题目】如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(﹣2,﹣1),且P(﹣1,﹣2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.
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【题目】某市为提倡居民节约用水,规定每三口之家每月用水量不得超过20吨,超过部分需加价收费.已知小丽家有三口人,今年4月份用水24吨,交水费46元;5月份用水29吨,交水费58.5元.你能知道该市在限定量以内的水费每吨多少元,超过部分的水费每吨多少元吗?
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【题目】如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了46米木栏.
(1)若a=26,所围成的矩形菜园的面积为280平方米,求所利用旧墙AD的长;
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
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【题目】(1)如图①,AB为⊙O的直径,点P在⊙O上,过点P作PQ⊥AB,垂足为点Q.说明△APQ∽△ABP;
(2)如图②,⊙O的半径为7,点P在⊙O上,点Q在⊙O内,且PQ=4,过点Q作PQ的垂线交⊙O于点A、B.设PA=x,PB=y,求y与x的函数表达式.
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【题目】我市在创建全国文明城市的过程中,某社区在甲楼的处与
处之间悬挂了一幅宣传条幅,在乙楼顶部点测得条幅顶端
点的仰角为45°,测得条幅底端
点的俯角为30°,若甲、乙两楼之间的水平距离
为12米.
(1)甲楼比乙楼高多少米?
(2)求条幅AE的长度.(结果保留根号)
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【题目】如图,反比例函数的图象过格点(网格线的交点)
.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点是该双曲线第一象限上的一点,且
,
填空:①直线的解析式为_______;②点
的坐标为______.
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【题目】丹尼斯超市进了一批成本为 8 元/个的文具盒. 调查发现:这种文具盒每个星期的销售量y(个)与它的定价 x(元/个)的关系如图所示:
(1)求这种文具盒每个星期的销售量 y(个)与它的定价 x(元/个)之间的函数关系式(不必写出自变量 x的取值范围);
(2)每个文具盒的定价是多少元,超市每星期销售这种文具盒 (不考虑其他因素)可或得的利润为 1200 元?
(3)若该超市每星期销售这种文具盒的销售量小于 115 个, 且单件利润不低于 4 元(x 为整数),当每个文具盒定价多少 元时,超市每星期利润最高?最高利润是多少?
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