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【题目】已知:内接于,过点的切线,交的延长线于点,连接

1)如图1,求证:

2)如图2,过点于点,连接,交于点,求证:

3)如图3,在(2)的条件下,点上一点,过点的切线交的延长线于点,连接,交的延长线于点,连接,点上一点,连接,若,求的长.

【答案】1)详见解析;(2)详见解析;(3

【解析】

1)延长BOG,连接CG,根据切线的性质可得可证∠DBC+∠CBG=90°,然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG+∠G=90°,再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=G,从而证出结论;

2)在MB上截取一点H,使AM=MH,连接DH,根据垂直平分线性质可得DH=AD,再根据等边对等角可得∠DHA=DAH,然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=C,可得AB=AC,再根据垂直平分线的判定可得AO垂直平分BC,从而证出结论;

3)延长CFBDM,延长BOCQG,连接OE,证出tanBGE=tanECF=2,然后利用AAS证出△CFN≌△BON,可设CF=BO=rON=FN=a,则OE=r,根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE为正方形,利用ra表示出各线段,最后根据,即可分别求出aCF

解:(1)延长BOG,连接CG

BD的切线

∴∠OBD=90°

∴∠DBC+∠CBG=90°

BG为直径

∴∠BCG=90°

∴∠CBG+∠G=90°

∴∠DBC=G

∵四边形ABGC的内接四边形

∴∠DAB=G

∴∠DAB=DBC

2)在MB上截取一点H,使AM=MH,连接DH

DM垂直平分AH

DH=AD

∴∠DHA=DAH

AD=BH

DH=BH

∴∠HDB=HBD

∴∠DHA=HDB+∠HBD=2HBD

由(1)知∠DAB=DBC

∴∠DHA=DAB=DBC

∴∠DBC =2HBD

∵∠DBC =HBD+∠ABC

∴∠HBD=ABC,∠DBC=2ABC

∴∠DAB=2ABC

∵∠DAB=ABC+∠C

∴∠ABC=C

AB=AC

∴点ABC的垂直平分线上

∵点O也在BC的垂直平分线上

AO垂直平分BC

3)延长CFBDM,延长BOCQG,连接OE

∴∠DMC=90°

∵∠OBD=90°

∴∠DMC=OBD

CFOB

∴∠BGE=ECF,∠CFN=BON

tanBGE=tanECF=2

由(2)知OA垂直平分BC

∴∠CNF=BNO=90°,BN=CN

∴△CFN≌△BON

CF=BOON=FN,设CF=BO=rON=FN=a,则OE=r

OQ=2a

CFOB

∴△QGO∽△QCF

OG=

过点OOE′⊥BG,交PEE

OE=OG·tanBGE=r=OE

∴点E′与点E重合

∴∠EOG=90°

∴∠BOE=90°

PBPE是圆O的切线

∴∠OBP=OEP=BOE=90°,OB=OE=r

∴四边形OBPE为正方形

∴∠BOE=90°,PE=OB=r

∴∠BCE=BOE==45°

∴△NQC为等腰直角三角形

NC=NQ=3a

BC=2NC=6a

RtCFN中,CF=

PQBC

∴∠PQE=BCG

PEBG

∴∠PEQ=BGC

∴△PQE∽△BCG

解得:PQ=4a

4a2a=

解得:a=

CF==10

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(1)直接写出BQ的长(用含t的代数式表示)

(2)求△BPQ的面积S(用含t的代数式表示)

(3)求当四边形APCQ为平行四边形t的值

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