【题目】已知:内接于,过点作的切线,交的延长线于点,连接.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,过点作于点,连接,交于点,,求证:;
(3)如图3,在(2)的条件下,点为上一点,过点的切线交的延长线于点,连接,交的延长线于点,连接,,点为上一点,连接,若,,,,求的长.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)
【解析】
(1)延长BO交于G,连接CG,根据切线的性质可得可证∠DBC+∠CBG=90°,然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG+∠G=90°,再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G,从而证出结论;
(2)在MB上截取一点H,使AM=MH,连接DH,根据垂直平分线性质可得DH=AD,再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH,然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C,可得AB=AC,再根据垂直平分线的判定可得AO垂直平分BC,从而证出结论;
(3)延长CF交BD于M,延长BO交CQ于G,连接OE,证出tan∠BGE=tan∠ECF=2,然后利用AAS证出△CFN≌△BON,可设CF=BO=r,ON=FN=a,则OE=r,根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE为正方形,利用r和a表示出各线段,最后根据,即可分别求出a和CF.
解:(1)延长BO交于G,连接CG
∵BD是的切线
∴∠OBD=90°
∴∠DBC+∠CBG=90°
∵BG为直径
∴∠BCG=90°
∴∠CBG+∠G=90°
∴∠DBC=∠G
∵四边形ABGC为的内接四边形
∴∠DAB=∠G
∴∠DAB=∠DBC
(2)在MB上截取一点H,使AM=MH,连接DH
∴DM垂直平分AH
∴DH=AD
∴∠DHA=∠DAH
∵,
∴AD=BH
∴DH=BH
∴∠HDB=∠HBD
∴∠DHA=∠HDB+∠HBD=2∠HBD
由(1)知∠DAB=∠DBC
∴∠DHA=∠DAB=∠DBC
∴∠DBC =2∠HBD
∵∠DBC =∠HBD+∠ABC
∴∠HBD=∠ABC,∠DBC=2∠ABC
∴∠DAB=2∠ABC
∵∠DAB=∠ABC+∠C
∴∠ABC=∠C
∴AB=AC
∴点A在BC的垂直平分线上
∵点O也在BC的垂直平分线上
∴AO垂直平分BC
∴
(3)延长CF交BD于M,延长BO交CQ于G,连接OE,
∵
∴∠DMC=90°
∵∠OBD=90°
∴∠DMC=∠OBD
∴CF∥OB
∴∠BGE=∠ECF,∠CFN=∠BON,
∴tan∠BGE=tan∠ECF=2
由(2)知OA垂直平分BC
∴∠CNF=∠BNO=90°,BN=CN
∴△CFN≌△BON
∴CF=BO,ON=FN,设CF=BO=r,ON=FN=a,则OE=r
∵
∴OQ=2a
∵CF∥OB
∴△QGO∽△QCF
∴
即
∴OG=
过点O作OE′⊥BG,交PE于E′
∴OE′=OG·tan∠BGE=r=OE
∴点E′与点E重合
∴∠EOG=90°
∴∠BOE=90°
∵PB和PE是圆O的切线
∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°,OB=OE=r
∴四边形OBPE为正方形
∴∠BOE=90°,PE=OB=r
∴∠BCE=∠BOE==45°
∴△NQC为等腰直角三角形
∴NC=NQ=3a,
∴BC=2NC=6a
在Rt△CFN中,CF=
∵
∴PQ∥BC
∴∠PQE=∠BCG
∵PE∥BG
∴∠PEQ=∠BGC
∴△PQE∽△BCG
∴
即
解得:PQ=4a
∵,
∴4a+2a=
解得:a=
∴CF==10
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【题目】已知BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是⊙O的弦,∠AEC=30°.
(1)求证:直线AD是⊙O的切线;
(2)若AE⊥BC,垂足为M,⊙O的半径为4,求AE的长.
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【题目】如图,长方形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=BC=20,AB=8,动点P从点B出发,先以每秒2cm的速度沿B→A的方向运动,到达点A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向终点D运动;动点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿B→C的方向向终点C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设点P、Q同时出发,运动时间为t秒.
(1)直接写出BQ的长(用含t的代数式表示)
(2)求△BPQ的面积S(用含t的代数式表示)
(3)求当四边形APCQ为平行四边形t的值
(4)若点E为BC中点,直接写出当△BEP为等腰三角形时t的值.
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【题目】(2017浙江省湖州市,第16题,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数和在第一象限的图象于点A,B,过点B作 BD⊥x轴于点D,交的图象于点C,连结AC.若△ABC是等腰三角形,则k的值是______.
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【题目】建华区对参加年中考的名初中毕业生进行了一次视力抽样调查,绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分.请根据图、表信息解答下列问题:
(1)在频数分布表中,的值为 ,的值为 ,并将频数分布直方图补充完整;
(2)甲同学说:“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”,问甲同学的视力情况应在什么范围?
(3)若视力在以上(含)均属正常,则视力正常的人数占被统计人数的百分比是 ,并根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人?
视力 | 频数 | 频率 |
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【题目】某旅行团32人在景区A游玩,他们由成人、少年和儿童组成.已知儿童10人,成人比少年多12人.
(1)求该旅行团中成人与少年分别是多少人?
(2)因时间充裕,该团准备让成人和少年(至少各1名)带领10名儿童去另一景区B游玩.景区B的门票价格为100元/张,成人全票,少年8折,儿童6折,一名成人可以免费携带一名儿童.
①若由成人8人和少年5人带队,则所需门票的总费用是多少元?
②若剩余经费只有1200元可用于购票,在不超额的前提下,最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案,并指出哪种方案购票费用最少.
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【题目】A,B两城相距600千米,甲、乙两车同时从A城出发驶向B城,甲车到达B城后立即返回.如图是它们离A城的距离y(千米)与行驶时间 x(小时)之间的函数图象.
(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当它们行驶了7小时时,两车相遇,求乙车的速度及乙车行驶过程中y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当两车相距100千米时,求甲车行驶的时间.
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【题目】金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式:一种是从西坡上山,如图,先从A沿登山步道走到点B,再沿索道乘坐缆车到点C;另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C.已知在点A处观测点C,得仰角∠CAD=37°,且A、B的水平距离AE=1000米,索道BC的坡度i=1:,长度为2600米,CD⊥AD于点D,BF⊥CD于点F则BE的高度为(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°=0.75,=1.73)( )
A.2436.8米B.2249.6米C.1036.8米D.1136.8米
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