Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

（1）求证：AC∥DE；

（2）连接CD，若OA＝AE＝2时，求出四边形ACDE的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题（1）根据垂径定理的推论可证明AC⊥OD，根据切线的性质定理证得ED⊥OD，即可证明AC∥DE．（2）连接CD，易证OF＝FD，根据SAS可证得△AFO≌△CFD，即可得S四边形ACDE＝S△ODE，根据勾股定理求得ED的长，即可得Rt△ODE的面积，从而求得四边形ACDE的面积．

试题解析：

证明：（1）∵F为弦AC（非直径）的中点，∴AF＝CF，∴OD⊥AC，

∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∴AC∥DE．

（2）∵AC∥DE，且OA＝AE，∴F为OD的中点，即OF＝FD，又∵AF＝CF，

∠AFO＝∠CFD，∴△AFO≌△CFD（SAS），∴S△AFO＝S△CFD，∴S四边形ACDE＝S△ODE

在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝2，∴OE＝4，∴DE＝＝2

∴S四边形ACDE＝S△ODE＝×OD×OE＝×2×2＝2．