Question

6．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PA于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，$\frac{56}{15}$，$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 由于本题的等腰三角形底和腰不确定，所以要分三种情况讨论：①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质可求出CG：BG的值，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC的长．

解答 解：①当BA=BP时，
则AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
∵∠OAE=∠BAD，∠AEO=∠ADB=90°，
∴△AOE∽△ABD，
∴$\frac{OD}{AO}=\frac{BD}{AB}$，
∴BD=$\frac{24}{5}$，
∴BD=PD=$\frac{24}{5}$，
即PB=$\frac{48}{5}$，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{PA}{CP}$，
∴CP=$\frac{40}{3}$，
∴BC=CP-BP=$\frac{40}{3}$-$\frac{48}{5}$=$\frac{56}{15}$；
③当PA=PB时，
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，∴OF=3，
∴FP=8，
∵∠PAF=∠ABP=∠CBG，∠AFP=∠CGB=90°，
∴△PFB∽△CGB，
∴$\frac{PF}{FB}=\frac{CG}{BG}=\frac{2}{1}$，
设BG=t，则CG=2t，
∵∠PAF=∠ACG，∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴$\frac{AF}{PF}=\frac{CG}{AG}$，
∴$\frac{2t}{8+t}=\frac{1}{2}$，解得t=$\frac{8}{3}$，
在Rt△BCG中，BC=$\sqrt{5}$t=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，$\frac{56}{15}$，$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
故答案为：8，$\frac{56}{15}$，$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．