Question

【题目】设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；②a@（b+c）＝a@b+a@c；③不存在实数a，b，满足a@b＝a2+5b2；④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．其中正确的是_____．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．

解：①根据题意得：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2

∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0，

整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）＝0，即4ab＝0，

解得：a＝0或b＝0，正确；

②∵a@（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac

a@b+a@c＝（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2＝4ab+4ac，

∴a@（b+c）＝a@b+a@c，正确；

③a@b＝a2+5b2，a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，

令a2+5b2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，

显然：当时，上式成立，

故③错误；

④∵a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，

a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，

则周长为：

有最大值，

当时， 有最大值，

此时：

即：a＝b，

∴a@b最大时，a＝b，故④正确．

故答案为：①②④．