Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(﹣2，0)，B(3，0)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y轴负半轴上存在一点D，使∠CBD＝∠ADC，求点D的坐标；

（3）点D关于直线BC的对称点为D′，将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移h个单位，与线段DD′只有一个交点，直接写出h的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）D(0，﹣6)；（3）3≤h≤15

【解析】

（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），﹣6a＝﹣3，解得：a＝，即可求解；

（2）CH＝HD＝m，tan∠ADC＝＝tan∠DBC＝，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），即可求解；

（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，即可求解．

解：（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），

抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），

﹣6a＝﹣3，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；

（2）设CD＝m，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，则CH＝HD＝m，

tan∠ADC＝＝tan∠DBC＝，

解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），

故点D（0，﹣6）；

（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；

平移后抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3﹣h，

当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；

当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，

即﹣3＝×9+﹣h，解得：h＝15，

故3≤h≤15．