Question

20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，线段BC与抛物线的对称轴交于点E、P为线段BC上的一点（不与点B、C重合），过点P作PF∥y轴交抛物线于点F，连结DF．设点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线所对应的函数表达式．
（2）求PF的长度，用含m的代数式表示．
（3）当四边形PEDF为平行四边形时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得DE的长，根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值．

解答 解：（1）∵点A（-1，0），点B（3，0）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
此抛物线所对应的函数表达式y=-x²+2x+3；
（2）∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x²+2x+3，
∴C（0，3）．
设BC所在的直线的函数解析式为y=kx+b，将B、C点的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
即BC的函数解析式为y=-x+3．
由P在BC上，F在抛物线上，得
P（m，-m+3），F（m，-m²+2m+3）．
PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m．
（3）如图，
∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x²+2x+3，
∴D（1，4）．
∵线段BC与抛物线的对称轴交于点E，
当x=1时，y=-x+3=2，
∴E（1，2），
∴DE=4-2=2．
由四边形PEDF为平行四边形，得
PF=DE，即-m²+3m=2，
解得m₁=1，m₂=2．
当m=1时，线段PF与DE重合，m=1（不符合题意，舍）．
当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标是解题关键；利用平行四边形的对边相等得出关于m的方程是解题关键．