[题目]发现来源于探究．小亮进行数学探究活动.作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG(a>b).开始时.点E在AB上.如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转．(1)如图2.小亮将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转.连接BE.DG.当点G恰好落在线段BE上时.小亮发现DG⊥BE.请你帮他说明理由．当a=3.b=2时.请你� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG（a>b），开始时，点E在AB上，如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转．

（1）如图2，小亮将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转，连接BE、DG，当点G恰好落在线段BE上时，小亮发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG的长．

（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG，点E在DA的延长线上，连接BF、DF．当FG平分∠BFD时，请你帮他求a：b及∠FBG的度数．

（3）如图4，BE的延长线与直线DG相交于点P，a=2b．当正方形AEFG绕点A从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P运动的路线长（用含b的代数式表示）．

【答案】（1）DG＝；（2）a∶b=，∠FBG=67.5°；（3）

【解析】

(1)如图2中,连接AF交BE于H,设DG交AB于O.由△DAG△BAE，推出∠ADO=∠GBO，DG= BE，由∠AOD=∠BOG 推出∠DAO=∠BGO= 90°，推出DG⊥BE，在Rt△AHE中，可得AH= EH=，在Rt△AHB中，可得BH= ，由此即可解决问题；

(2)如图3中，连接AF，由tan∠BFG= =tan∠GFD=tan∠FDE= 可得a:b= ，由此推出AD= AF，可得∠FDA=∠DFA = 22.5°，由此即可解决问题；

(3)如图4中，连接BD，取BD的中点O，连接OP、OA，由△DAG △BAE可得DG⊥BE ，推出∠DPB = 90°，由OD=OB=OD ，推出OP= OD= OB= OD ，可得点P在以BD为直径的圆弧上运动，当旋转角为0°时点P与A重合，∠ABE最大的位置为BE是⊙A的切线，此时∠ABE= 30°记此时点P的位置为，∠AO=60°，O=OA=b，在正方形AEFG绕点A逆时针方向由0°旋转到180°的过程中，点在弧AP上往返一次.由180°旋转到360°的过程，类似，由此即可解决问题，

（1）如图2中，连接AF交BE于H，设DG交AB于O点，

∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，

∴AD=AB，AG=AE，∠DAB=∠GAE，

∴∠DAG=∠BAE，

∴△DAG≌△BAE，

在中，

DG＝BE＝+．

（2）如图3中，连接AF

∵

∴，

∴a∶b=，

∵AF=，AD=，

∴AF=AD，

∴∠FDA＝∠DFA＝22.5°，∠FBG=67.5°

（3）如图4中，连接BD,取BD的中点O，连接OP，OA

由△DAG≌△BAE可得DG⊥BE，

点P在以BD为直径的圆弧上运动．当旋转角为0°时，点P与A重合．∠ABE最大的位置为BE是⊙A的切线．此时∠ABE＝30°，

记此时点P的位置为P1，∠AOP1＝60°．OP1＝OA＝，

在正方形AEFG绕点A逆时针方向由0°旋转到180°的过程中，点P在弧AP1上往返一次．由180°旋转到360°的过程，类似．

所以路线长＝．

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