【题目】(1)观察猜想:
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边BC上,连接AD,把△ABD绕点A逆时针旋转90°,点D落在点E处,如图①所示,则线段CE和线段BD的数量关系是 ,位置关系是 .
(2)探究证明:
在(1)的条件下,若点D在线段BC的延长线上,请判断(1)中结论是还成立吗?请在图②中画出图形,并证明你的判断.
(3)拓展延伸:
如图③,∠BAC≠90°,若AB≠AC,∠ACB=45°,AC=,其他条件不变,过点D作DF⊥AD交CE于点F,请直接写出线段CF长度的最大值.
【答案】(1)CE=BD,CE⊥BD.(2)(1)中的结论仍然成立.理由见解析;(3).
【解析】分析:(1)线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,根据旋转的性质得到AD=AE,∠BAD=∠CAE,得到△BAD≌△CAE,CE=BD,∠ACE=∠B,得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,于是有CE=BD,CE⊥BD.
(2)证明的方法与(1)类似.
(3)过A作AM⊥BC于M,EN⊥AM于N,根据旋转的性质得到∠DAE=90°,AD=AE,利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM,易证得Rt△AMD≌Rt△ENA,则NE=MA,由于∠ACB=45°,则AM=MC,所以MC=NE,易得四边形MCEN为矩形,得到∠DCF=90°,由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF,得,设DC=x,MD=1-x,利用相似比可得到CF=-x2+1,再利用二次函数即可求得CF的最大值.
详解:(1)①∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,
∴BD⊥CE;
故答案为:CE=BD,CE⊥BD.
(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下:
如图,∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
∴AE=AD,∠DAE=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD,
∴△ACE≌△ABD,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=90°,即CE⊥BD,
∴线段CE,BD之间的位置关系和数量关系分别为:CE=BD,CE⊥BD.
(3)如图3,过A作AM⊥BC于M,EN⊥AM于N,
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE
∴∠DAE=90°,AD=AE,
∴∠NAE=∠ADM,
易证得Rt△AMD≌Rt△ENA,
∴NE=AM,
∵∠ACB=45°,
∴△AMC为等腰直角三角形,
∴AM=MC,
∴MC=NE,
∵AM⊥BC,EN⊥AM,
∴NE∥MC,
∴四边形MCEN为平行四边形,
∵∠AMC=90°,
∴四边形MCEN为矩形,
∴∠DCF=90°,
∴Rt△AMD∽Rt△DCF,
∴,
设DC=x,
∵∠ACB=45°,AC=,
∴AM=CM=1,MD=1-x,
∴,
∴CF=-x2+x=-(x-)2+
,
∴当x=时有最大值,CF最大值为
.
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【题目】如图(1),在四边形中,
,
,动点
从点
出发,沿
,
运动至点
停止.设点
运动的路程为
,
的面积为
,如果
关于
的函数图象如图(2)所示,则
的面积是( )
A.6B.5C.4D.3
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【题目】如图,已知≌
,且
、
、
、
四点在同一直线上.
(1)在图1中,请你用无刻度的直尺作出线段的垂直平分线;
(2)在图2中,请你用无刻度的直尺作出线段的垂直平分线.
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【题目】如图所示,已知中,
厘米,
、
分别从点
、点
同时出发,沿三角形的边运动,已知点
的速度是1厘米/秒的速度,点
的速度是2厘米/秒,当点
第一次到达
点时,
、
同时停止运动.
(1)、
同时运动几秒后,
、
两点重合?
(2)、
同时运动几秒后,可得等边三角形
?
(3)、
在
边上运动时,能否得到以
为底边的等腰
,如果存在,请求出此时
、
运动的时间?
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【题目】如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上,如果BC=5,△ABC的面积是10,那么这个正方形的边长是_____.
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【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
(A)AB=BE (B)BE⊥DC (C)∠ADB=90° (D)CE⊥DE
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB上的一点,将△BCE沿CE折叠至△FCE,若CF,CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切,则折痕CE的长为 .
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