Question

16．如图1所示，四边形AEFG与四边形ABCD是正方形，其中G、A、B三点在同一直线上．连接DG、BE．完成下面问题：
（1）求证：BE=DG；
（2）如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针转过一定角度时，小明发现：BE=DG且BE⊥DG，请你帮助小明证明这两个结论；
（3）如图3，小明还发现：在旋转过程中，分别连接EG、GB、BD、DE的中点，得到的四边形MNPQ是正方形．若AB=a，AE=b其中a＞b，你能帮小明求出正方形MNPQ的面积的范围吗？写出过程．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AD=AB，AE=AG，∠DAG=∠BAE=90°，证明△DAG≌△BAE，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据全等三角形的性质和互余的概念以及垂直的定义证明即可；
（3）根据三角形中位线定理得到MN=$\frac{1}{2}$BE，根据旋转的性质和正方形的面积公式计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形AEFG与四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，AE=AG，∠DAG=∠BAE=90°，
在△DAG和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAE，
∴BE=DG；
（2）证明：如图2，∵∠EAG=∠BAD=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
在△DAG和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAE，
∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，
∵∠ABE+∠AHB=90°，∠AHB=∠DHE，
∴∠ADG+∠DHE=90°，
∴BE⊥DG，
∴BE=DG且BE⊥DG；
（3）解：∵M、N分别是EG、GB的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$BE，
∴当BE最小时，正方形MNPQ是面积最小，BE最大时，正方形MNPQ是面积最大，
由题意可知，当点E旋转到线段AB上时，BE最小为a-b，
当点E旋转到线段AB的延长线上时，BE最答为a+b，
∴$\frac{1}{4}$（a-b）²≤正方形MNPQ的面积≤$\frac{1}{4}$（a+b）²．

点评 本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形中位线定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．