Question

已知关于x的方程

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x²-（m-2）x+m=0．试问是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于22？若存在，求出满足条件的m的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：

分析：利用根与系数的关系，化简x₁²+x₂²=22，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=22．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．

解答：解：假设存在，则有x₁²+x₂²=22．
∵x₁+x₂=4m-8，x₁x₂=4m，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=22，
即（4m-8）²-2×4m=22，
∴8m²-36m+21=0，
∴m₁=

9+ 39

4

，m₂=

9- 39

4

．
∵△=（m-2）²-m=m²-5m+4≥0，
∴m≤1或m≥4，
∴m₁=

9+ 39

4

不符合题意，m₂=

9- 39

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符合题意，
故存在正数m=

9- 39

4

，使方程的两个实数根的平方和等于22．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考查了根与系数的关系，也考查了存在性问题的解题方法和格式．