Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC⊥AB．点P从点D出发，沿折线DC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动（不与点B、D重合），过点P作PE⊥AB，交射线BA于点E，连结BP．设点P的运动时间为t（秒），△BPE的面积为S（平方单位）．

（1）AD与BC间的距离是　 　．

（2）当点P在BC上时，求PE的长（用含t的代数式表示）．

（3）求S与t之间的函数关系式．

（4）直接写出PE将平行四边形ABCD的面积分成1：7两部分时t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）t的值为或

【解析】

（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，在三角形ABC中依据勾股定理可求得AC的长，然后依据三角形的面积公式可求得AF的长，从而得到AD与BC之间的距离；

（2）由题意得出3＜t＜8，如图2所示；由题意可知PE∥AC，从而得到△BPE∽△BCA，由相似三角形的性质可知：，从而可求解；
（3）分0＜t≤3时和3＜t＜8时两种情况，再根据相似三角形的性质进行解答即可；
（4）分0＜t≤3时和3＜t＜8时两种情况，再根据PE将ABCD的面积分成1：7的两部分进行解答即可．

（1）过A作AF⊥BC于F点，如图1：

∵AC⊥AB，AB=3，BC=5，
∴AC= ，
∴△ACB的面积=AC×AB=BC×AF，
解得：AF=，

∴AD与BC间的距离等于．
故答案为：；
（2）∵AC⊥AB，
∴AC=，
当点P在BC上时，3＜t＜8，如图2：

∵PE⊥AB，AC⊥AB，
∴PE∥AC，
∴△BPE∽△BCA，
∴，即，
解得：PE=；
（3）∵边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=3，AD∥BC，AD=BC=5，
∵AC⊥AB，PE⊥AB，
∴AC∥PE，
①当0＜t≤3时，
设PE与AD的交点为F，如图3：

则四边形ACPE是平行四边形，
∴PE=AC=4，AE=PC=CD-PD=3-t，
∴BE=AB+AE=3+3-t=6-t，
∴S=BE×PE=×（6-t）×4=12-2t，
即S与t之间的函数关系式为S=12-2t；
②当3＜t＜8时，如图4：
延长DC、EP交于点G，

则DG⊥EG，四边形AEGC是平行四边形，
∴GE=AC=4，AE=CG，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠PCG，
∵∠BAC=∠PGC，
∴△CPG∽△BCA，
∴ ，即，
解得：CG=，PG=，
∴AE=CG=，PE=EG-PG=4-=，
∴BE=AB-AE=3-= ，
∴S=BE×PE=×= ，
即S与t之间的函数关系式为S=；

综上所述，
（4）PE将ABCD的面积分成1：7的两部分，ABCD的面积=AB×AC=3×4=12，
①当0＜t≤3时，如图2所示：
∵AC⊥AB，PE⊥AB，
∴PF∥AC，
∴△DPF∽△DCA，
∴ ，即，
解得：PF=，
∴△PDF的面积=PD×PF=t2；
∴，
解得：t=（负值舍去）；
②当3＜t＜8时，如图4所示：
S=，
解得：t=，或t=（不符合题意，舍去）．
综上所述，PE将平行四边形ABCD的面积分成1：7两部分时t的值为或．